三正數可構成銳角三角形三邊長的幾個等價命題

● (廣州大學附屬中學 廣東廣州 510050)●

(華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631)

三正數可構成銳角三角形三邊長的幾個等價命題

●鄭慧娟(廣州大學附屬中學 廣東廣州 510050)●吳康

(華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631)

熟知對任意正數a，b，c可構成三角形的等價條件為a+b>c，b+c>a，c+a>b.判定3個正數是否可作為三角形3條邊的等價命題很多，例如：

正數a，b，c可構成三角形的等價條件有：

(2)2ab>|a2+b2+c2|；

本文對任意正數a，b，c能構成銳角三角形3條邊長的等價條件進行探索，并得到了以下幾個等價命題.

命題1正數a，b，c能構成銳角三角形3條邊的充要條件是

(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0.

(1)

證明必要性：在銳角△ABC中，設∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a，b，c，則

cosAcosBcosC>0,

代入余弦公式可得

(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0.

充分性：若對正數a,b,c，則

(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0，

即

b2+c2>a2,a2+c2>b2,a2+b2>c2.

否則b2+c2-a2,a2+c2-b2,a2+b2-c2中有2個為負數.不妨設b2+c2-a2<0，a2+c2-b2<0，相加可得2c2<0，產生矛盾.因此

同理可得

b+c>a，c+a>b,

從而正數a，b，c能構成三角形的3條邊長.又由

命題2正數a，b，c能構成銳角三角形3條邊長的充要條件是2a2b2>|a4+b4-c4|(或2b2c2>|b4+c4-a4|或2c2a2>|c4+a4-b4|).

證明由式(1)可得

(a2+b2+c2)(b2+c2-a)(a2+c2-b2)(a2+b2-c2)>0

?

[(a2+b2)2-c4)][c4-(a2-b2)2]>0

?

4a4b4-(a4+b4-c4)2>0

(2)

?

2a2b2>|a4+b4-c4|.

同理可得

2b2c2>|b4+c4-a4|，2c2a2>|c4+a4-b4|.

命題3正數a,b,c能構成銳角三角形3條邊長的充要條件是

證明式(2)等價于

4a4b4-a8-b8-c8-2a4b6+2b4c4+2a4c4>0，

即

2(a4b4+b4c4+a4c4)>a8+b8+c8，

(4)

等價于

(a4+b4+c4)2>2(a8+b8+c8),

得

命題4正數a，b，c能構成銳角三角形3條邊長的充要條件是

證明式(3)等價于

4(a4b4+b4c4+a4c4)>a8+b8+c8+2(a4b4+b4c4+a4c4),

即

4(a4b4+b4c4+a4c4)>(a4+b4+c4)2,

于是

[1] 蘇化明.三正數可作為三角形三邊的幾個命題[J].中學教研(數學),1990(7)：21-22.