巧用“層次對稱”求一類分式的最大值

●

(陽新縣高級中學 湖北陽新 435200)

巧用“層次對稱”求一類分式的最大值

●鄒生書

(陽新縣高級中學 湖北陽新 435200)

筆者在研讀文獻[1]時發現，該文中的幾個不等式可通過另一種巧設參數妙拆分的構造法求得.若能充分挖掘和利用所含字母不同層次間的微妙的對稱關系，則可少設參數甚至不設參數達到減少運算量之功效，從而體現多思少算的解題原則.現將其整理成文與讀者分享.

得

分析嘗試從分母入手將平方和轉化為積和，從而求出最大值.注意到所求式子4個字母a,b,c,d的微妙關系,可分為如下2個層次：其中a,d為第1層次，b,c為第2層次，各層次的字母地位相對平等對稱，并且a與b之間的關系等同于d與c間的關系.根據以上分析，在應用重要不等式時，應將分母中的b2,c2分別等權地分給a2,d2搭配成對，這樣才能體現這種既有等級層次又相對平等的微妙關系，因此有如下解法：

解a2+b2+c2+d2=

(a2+λb2)+(1-λ)(b2+c2)+λc2+d2≥

即

λ2-3λ+1=0.

因為0<λ<1，所以

將其代入上述不等式得

即

所以

下面我們再用此法解一道含有參數的有關分式的最大值問題.

分析由題設知y,z對于x而言,地位相對平等對稱，于是有如下解法：

解引入參數λ∈(0,1).由均值不等式得

x2+y2+z2=

即

所以

綜上可知，求這類分式最值的方法是：根據分子中字母的“層次對稱”這一結構特點，恰當地盡可能少地引入參數，將分母的平方和巧妙拆分合理搭配，然后用重要不等式“湊出分子”的積和式，再利用對應項系數成比例確定參數的值繼而求出最大值.縱觀本文數例不難發現：當所求式子取得最大值時，同一層次中的字母取值相同，不同層次的字母取值不同，即不同層次字母的取值成比例，這是一個非常有趣的現象.此結果表明字母在條件中具有層次性、平等性和對稱性，在結果仍具有這三性，這一結果簡直太美妙了，這使我們再次領略到數學的對稱美、奇異美與和諧美.

[1] 張俊.一個平凡不等式引發的探究[J].數學教學，2010(12)：12-14.

[2] 鄒生書.巧“設”妙“分”求最值[J].數學通訊(下半月)，2011(3)：31.

[3] 鄒生書.運用對稱探求最值[J].河北理科教學研究，2010(6)：3-5.