概率論教學中思維品質的培養

徐 靜

(安徽師范大學數學計算機科學學院,安徽蕪湖 241000)

概率論教學中思維品質的培養

徐 靜

(安徽師范大學數學計算機科學學院,安徽蕪湖 241000)

從加強概率概念邏輯性教學、通過構造概率論中反例教學和構建相關問題的概率模型的教學等幾個方面探討了如何在概率論教學中培養學生的概率思維品質.

概率教學;思維能力;概率模型

培養學生的思維品質,提高學生的思維能力是數學教育的重要目標之一.概率論思維雖然是從屬于一般思維、具有一般思維的特性,由于概率論是研究隨機現象統計規律的學科,它的思維體系、處理問題的主要方法和結果也具有明顯的自身的特點.同時,概率統計具有廣泛的應用性,這也常使初學者感到它的基本概念、基本方法不容易掌握,給學生的學習帶來一定的困難.為此,本文從以下幾個方面探討了如何在概率論教學中注重引導學生學習方法,培養良好的思維品質,提高教學質量.

1 加強概率概念邏輯性教學 培養概率思維的邏輯性

對上述模型,在課堂教學中讓學生討論分辨得出如下結論：

(i)概率模型構建不夠恰當;

(iii)所設事件相矛盾,如AiAj表示“第i,j次擊中白色,而其余n-2次命中黑色”.事實上,AiAj=?.導致上述概念不清的原因是對概率論中的事件相容性、獨立性等概念理解不深.事實上,我們只須構造概率模型：設袋中有a只白球,b-a(b≥a)只黑球,每次從中任取一球,記下球的顏色,取后放回,連續取n次.令Ai表示“第i次摸出白球”即可.

(Ⅱ)在類比中理解概念,如在事件的獨立性與不相關的教學中,兩個隨機變量ξ,η相互獨立與ξ, η不相關,這兩個概念常使學生混淆.我們知道：若隨機變量ξ,η相互獨立,且ξ,η的二階矩非0有限,則ξ,η一定不相關;若ξ,η相關,則ξ,η一定不獨立.而ξ,η不相關,未必有ξ,η獨立.事實上,可以驗證下例即知：若隨機變量ξ的概率密度是偶函數且二階矩有限,則與ξ不相關且它們相互不獨立.但對于二維正態變量(ξ,η)總有“若ξ,η不相關,則ξ,η獨立;反之若ξ,η獨立,則ξ,η不相關”.與ξ不相關,但它們不相互獨立.當然,對于正態變量ξ,亦有

2 通過構造概率論中反例教學 培養概率思維的批判性

所謂的思維的批判性是指在推理、判斷過程中不斷地對思維過程作出評價,用質疑、批判、求異的眼光觀察分析問題.思維的批判性是一種創造,美國哲學家拉卡托斯曾指出：“整個數學理論體系本身就是通過理論的不斷批判和反駁而生長,通過理論的更新和競爭而取得進展的.”思維的批判性不是對已有的數學概念數學結構和數學關系的完全否定,而是揚棄發展與創新.培養思維的批判性,是培養創新人才的良好的手段和渠道.在概率論的教學中,針對容易混淆的的概念和容易忽視的前提條件的定義、公式,一方面通過一些判斷題等,引導學生辨析錯誤,提高識別能力;對有些問題看起來似乎是正確的,但實際上是錯誤的,這時要通過構造概率論反例,培養他們反駁能力.而且反例在辨析錯誤時具有直觀、明顯、說明力強等突出特點.在獨立性有關問題的教學時,直覺并非總能判定事件之間的獨立性,而反例可以啟示學生思考問題嚴謹性和思維的深刻性.例如：

擲一枚均勻的硬幣試驗,(i)在相同的條件下擲兩次,(ii)在相同的條件下擲三次.在這個試驗中,令A={既出現正面又出現反面},B={至多出現一次正面}.對于這兩種情形,討論事件A和B的獨立性.

不難驗證,在(i)下,事件A和B不相互獨立;在(ii)下,事件A和B又是相互獨立的.

3 通過構建相關問題的概率模型的教學 培養概率思維的創造性

從而有Εg(ξ)=ln(Gn)≤g(Eξ)=lnAn,即Gn≤An,當且僅當a1=a2=…an是等號成立.

4 通過概率論問題轉化教學 培養概率思維的靈活性和思維的深刻性

思維的靈活性表現為問題情景的轉化,通過探因索果,正反對比,正難則反,逆向思維,突破思維定勢,變換思維的方向途徑方法和技巧的能力,體現概率思維的靈活性和思維的深刻性.在概率論的教學中不乏這種例子.如利用對立事件求某些事件的概率,又如(匹配問題)：設n個人各填寫了一份登記表,再寫好n個標有這n個人姓名的檔案袋,然后隨機地將一份登記表裝入一檔案袋.設A表示“至少有一份登記表裝對了檔案袋”,求登記表與檔案袋配對的個數的數學期望.通常的做法是對登記表與檔案袋配對個數的n+1種情形(0對,1對,…,n對,)先求出它們的概率,然后計算期望與方差.但這種解法計算量很大,如果我們變換思維的方向,利用數學期望的性質解題,解法就十分簡潔.而且,這種解題方法應用相當廣泛.在這個問題中,定義n個隨機變量ξ1,…,ξn如下：

如果先求出其概率,再計算其數學期望,結果又如何呢?

[1] 華東師范大學數學系.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社,1983：1-192.

[2] 黃建安.關于廣義二項式定理的初等概率證明[J].湖南數學通訊,1995,(6)：36-38.

O211

C

1672-1454(2011)05-0200-03

2009-03-26

安徽省省級精品課程《概率論》(教秘高[2007]49號)