讓線性代數(shù)課程易教易學(xué)

杜建衛(wèi), 蘇 欣

(北京石油化工學(xué)院數(shù)理系,北京 102617)

讓線性代數(shù)課程易教易學(xué)

杜建衛(wèi), 蘇 欣

(北京石油化工學(xué)院數(shù)理系,北京 102617)

就在線性代數(shù)課程教學(xué)中遇到的困難和問題進(jìn)行了分析,并提出了應(yīng)對(duì)方法,即以問題為主線,把握宏觀定義和微觀定義,融入數(shù)學(xué)建模思想,從而使線性代數(shù)課程易教易學(xué).

問題主線;宏觀定義;微觀定義;數(shù)學(xué)建模思想

《線性代數(shù)》和《高等數(shù)學(xué)》一樣是國(guó)家教委規(guī)定的高等工科院校的六門主要基礎(chǔ)課之一,該課程是研究有限維線性空間的線性理論與方法的一門科學(xué),即用數(shù)學(xué)語言表述自然科學(xué)中最為普遍的概念——線性概念的學(xué)科.我國(guó)現(xiàn)行主流的線性代數(shù)課程的內(nèi)容(這里主要討論非數(shù)學(xué)專業(yè)類的課程內(nèi)容),大抵包括以下一些內(nèi)容：

行列式——矩陣——向量——線性方程組——特征值特征向量——二次型——線性空間和線性變換(一般不作要求)

線性代數(shù)課程的特點(diǎn)是學(xué)時(shí)一般較少,概念抽象難學(xué)難懂,它的教學(xué)也是被普遍認(rèn)為是困難的,同微積分的學(xué)習(xí)相比,一些學(xué)生甚至感到學(xué)線性代數(shù)“好像登上了另一個(gè)星球”,像是“讀天書”,當(dāng)一些看來十分簡(jiǎn)單的概念學(xué)生無法理解時(shí),教師也往往為此感到格外失望和困惑.本文以同濟(jì)大學(xué)編寫的《線性代數(shù)》教材為研究對(duì)象,探討了線性代數(shù)難教難學(xué)的原因及應(yīng)對(duì)方法.

1 線性代數(shù)難教難學(xué)原因分析

1.“塊狀”體系,缺乏課程主線.

線性代數(shù)為什么難學(xué),不妨比較一下,同是一年級(jí)課程的微積分,是基于實(shí)數(shù)和極限的理論來展開的,其中導(dǎo)數(shù)、積分是兩類特殊的極限.只要建立了極限概念,理解它們就不會(huì)有困難,導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式,比較容易導(dǎo)出.微積分基本公式搭建了積分與微分的橋梁,而作為求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算解決了不定積分計(jì)算問題.當(dāng)一元微積分的基礎(chǔ)建立之后,剩下的只是向多元的推廣了.可以說,微積分課程是以一個(gè)核心的概念——極限來貫穿全部的理論和方法,提綱挈領(lǐng)、綱舉目張,自然容易得心應(yīng)手.更何況現(xiàn)實(shí)的高中課程,一般已經(jīng)初步有了實(shí)數(shù)和極限的初步概念,以及求導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算技能,加之微積分課時(shí)比較充分,可以精雕細(xì)琢,自然不會(huì)覺得太難.然而,塊狀結(jié)構(gòu)下的線性代數(shù)的情形卻不是這樣,行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值特征向量、二次型等,擺放在學(xué)生面前的每一個(gè)“塊”,仿佛是一個(gè)個(gè)孤立的“小山包”,登上一個(gè)并不能順利通向另一個(gè).例如,一開始的行列式就是一個(gè)新對(duì)象,在學(xué)習(xí)了行列式的定義、性質(zhì)、計(jì)算等等內(nèi)容,克服一系列難點(diǎn)后,進(jìn)入下一章矩陣,又是另一個(gè)全新的對(duì)象,一切要另起爐灶,給出它的定義、性質(zhì)、計(jì)算以及一系列結(jié)果,他并不能在行列式的基礎(chǔ)上正常建立起來.其后面各章也大抵如此,每一個(gè)新討論的對(duì)象都要用新的定義來界定,而這往往只是又一個(gè)新的規(guī)定,然后一切又是新的開始.這樣,學(xué)生似乎總是遇到一個(gè)個(gè)陌生的面孔,常常需要從頭認(rèn)識(shí),熟悉起來.由此看來,線性代數(shù)之所以難學(xué),在很大程度上正是源于這種塊狀化結(jié)構(gòu)體系,沒有一個(gè)課程主線.

2.思維形式多樣,形式化概念抽象難懂.

線性代數(shù)內(nèi)容的描述方式分為三種模式,即抽象模式、代數(shù)模式、幾何模式.代數(shù)模式使用代數(shù)語言,如n維向量、矩陣等;抽象模式使用形式化語言,如向量空間,向量組的線性相關(guān)性等;幾何模式使用幾何語言,即二維、三維幾何空間.與這三種模式對(duì)應(yīng)的是三種思維形式：綜合幾何思維形式用于幾何模式;解析算法思維形式用于代數(shù)模式;解析結(jié)構(gòu)抽象思維形式用于抽象模式.學(xué)習(xí)線性代數(shù)需要時(shí)時(shí)轉(zhuǎn)換思維,學(xué)生需要較長(zhǎng)的時(shí)間來適應(yīng)這種新的學(xué)習(xí)過程,但學(xué)時(shí)少,沒等學(xué)生消化理解,很多抽象概念已一晃而過,可想而知讓學(xué)生弄懂這些概念確實(shí)有難度.

3.一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)能力儲(chǔ)備不足,接受有困難.

線性代數(shù)中所述的眾多抽象概念,都是與過去學(xué)生所學(xué)知識(shí)沒有太多聯(lián)系的新定義,它們的敘述方式是用純粹的數(shù)學(xué)語言,這就直接導(dǎo)致學(xué)生理解概念的困難.另外,這種基于形式概念的思維形式是以沒有具體意義的抽象元素為載體的形式邏輯思維,而一年級(jí)的學(xué)生在形式邏輯方面的能力是借助于幾何圖形直觀性的低級(jí)推理能力.因此,一年級(jí)學(xué)生在思考線性代數(shù)問題的過程中常常不知從何入手或者出現(xiàn)一些自身不能意識(shí)到的邏輯錯(cuò)誤.

2 讓線性代數(shù)易教易學(xué)

1.以解決問題為主線,克服“塊”狀結(jié)構(gòu)體系的缺陷.

微積分是以極限來貫穿全部的理論和方法,極限是其課程主線,線性代數(shù)是“塊狀”結(jié)構(gòu)體系,不同于微積分沒有課程主線.但不妨仔細(xì)看一下目錄,行列式、矩陣、向量所有這些“塊”其最終都能解決一個(gè)問題,即如何解線性方程組.利用行列式解線性方程——克拉默法則,利用矩陣解方程組——矩陣的初等行變換解線性方程組,利用向量解線性方程組——線性方程組解的結(jié)構(gòu),特征值與特征向量——解線性方程組的應(yīng)用,二次型——行列式、矩陣、解線性方程組綜合應(yīng)用.可見線性代數(shù)是以一個(gè)問題為主線把各個(gè)“塊”連接起來,這個(gè)問題即是“如何解線性方程組”.因此各個(gè)“塊”并不是孤立的,下面將比較詳細(xì)的說明如何將各個(gè)“塊”連接起來.

一開始便從解二元線性方程組入手,引出了二階行列式,從而引入了三階行列式、n階行列式,最后得到克拉默法則.我們先來回顧一下克拉默法則：

已知n元線性方程組

如果系數(shù)行列式D≠0,則該方程組有解并且解是惟一的,

可見可以利用行列式解n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組,但需要滿足一個(gè)條件D≠0,隨之問題就來了.

問題:1.當(dāng)D=0時(shí),克拉默法則顯然失效,這時(shí)如何得到線性方程組的解?

2.當(dāng)未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不同時(shí),克拉默法則顯然失效,這時(shí)如何得到線性方程組的解?

解決方法:利用矩陣、矩陣的初等行變換從而引出下一個(gè)“塊”即矩陣.

下面通過例子說明如何實(shí)現(xiàn)矩陣“塊”向向量“塊”的過渡.

利用矩陣齊次線性方程組得到了解決,這時(shí)該齊次線性方程組隨著k1,k2的不同取值有無窮多解,可以想象這些解要多少有多少,雜亂無章,參差不齊,于是引出下列問題:

問題:在齊次線性方程組無窮多個(gè)解中,解與解之間有無關(guān)系?其中有無規(guī)律可循?

解決方法:需要討論解向量之間的關(guān)系,即向量的線性表示、向量組、向量組的線性相關(guān)性、極大無關(guān)組,向量空間概念.

從而引出下一個(gè)“塊”即“向量的線性相關(guān)性”,由此得到齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu),從而得到非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),到此關(guān)于線性方程組的問題得到了圓滿的解決.下面可以引出線性方程組解法的應(yīng)用——特征值特征向量,進(jìn)而引出特征值特征向量的應(yīng)用——二次型.

以問題為主線,避免了學(xué)生從一座“孤山”到另一座“孤山”的盲目性,帶著問題看一張張陌生的“面孔”,就變得似曾相識(shí)了.特別是學(xué)生在學(xué)習(xí)向量及向量組的線性相關(guān)性一章時(shí)普遍感到困難,以齊次線性方程組通解為例,學(xué)生很容易理解一個(gè)向量由一組向量表達(dá),一組向量表達(dá)無窮多個(gè)向量,極大無關(guān)組、生成向量空間的概念也就容易理解了.

2.宏觀定義、微觀定義的使用,教會(huì)學(xué)生理解形式化概念.

形式化語言的線性代數(shù)概念抽象難學(xué),這是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到的又一個(gè)困難,也是教師在教學(xué)過程中感到困惑的,一些看來十分簡(jiǎn)單的概念學(xué)生無法理解.解決辦法是教會(huì)學(xué)生理解概念的宏觀定義和微觀定義.下面我以實(shí)例來說明什么是宏觀定義和微觀定義.

對(duì)稱矩陣的宏觀定義:n階方陣A滿足A=AT,則稱A為對(duì)稱矩陣;

對(duì)稱矩陣的微觀定義:n階方陣A=(aij)滿足aij=aji(i,j=1,2,…n),則稱A為對(duì)稱矩陣.

在教學(xué)中,有意識(shí)的把宏觀定義和微觀定義的思想教給學(xué)生,教會(huì)他們靈活使用這些定義,對(duì)理解形式化的抽象概念很有益處.

微觀定義證明:

很明顯,-2xixj=-2xjxi(i,j=1,2,…,n),所以H為對(duì)稱矩陣.

宏觀定義證明:

所以H為對(duì)稱矩陣.

例3 設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān),而向量組B：a1,a2,…,am,b線性相關(guān),則向量b必能由向量組A線性表示且表示式惟一.

微觀定義證明:

因?yàn)橄蛄拷MB線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,km+1,使得

假設(shè)km+1=0,則有不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使得

這時(shí)向量組A線性相關(guān),這與已知矛盾,所以km+1≠0,則

所以向量b必能由向量組A線性表示;

再證惟一性,假設(shè)有兩種表示形式,即

兩式相減,得到

因?yàn)橄蛄拷MA線性無關(guān),所以系數(shù)均為0,即得λ1=k1,λ2=k2,…,λm=km,惟一性得證.

宏觀定義證明:

以上兩例所用兩種證明方法有比較大的區(qū)別,對(duì)于剛學(xué)習(xí)這些概念的一年級(jí)學(xué)生,它們也可以很清楚的看出兩種方法的明顯區(qū)別.顯然第二種方法更為簡(jiǎn)單,這樣宏觀定義、微觀定義的思想在他們的腦海里會(huì)留下比較深刻的印象,從此他們會(huì)比較愿意接受宏觀定義.而宏觀定義多是形式化抽象概念,數(shù)學(xué)語言比較濃厚,學(xué)生只要愿意接受學(xué)好學(xué)會(huì)這種形式化概念也就成為了可能.在線性代數(shù)中類似這樣的概念定理有很多,如:反對(duì)稱矩陣,正交矩陣,可逆矩陣,相似矩陣,矩陣的秩,向量組的線性表示等等,其實(shí)幾乎線性代數(shù)中每一個(gè)概念,都可以找到它的宏觀定義和微觀定義.訓(xùn)練學(xué)生尋找這兩種形式的定義,可以逐步改善學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述概念、規(guī)律的能力,就會(huì)少犯不應(yīng)有的邏輯錯(cuò)誤.

3.數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué).

給一年級(jí)學(xué)生上線性代數(shù),傳統(tǒng)的教學(xué)基本上采用“概念—定理—證明—例題—練習(xí)—習(xí)題”的教學(xué)模式,學(xué)生聽起來會(huì)覺得枯燥乏味,加之他們的知識(shí)方法儲(chǔ)備不足,直接導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不足.因此,需要在教學(xué)中加入一些調(diào)味料,將數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)過程中,但要注意把握好不喧賓奪主即可.

在講到矩陣乘法時(shí)可以用到下面例子:

例4 運(yùn)動(dòng)會(huì)成績(jī)記錄問題.

學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)有化工、機(jī)械、信息、人文、數(shù)理、經(jīng)管六個(gè)學(xué)院參賽.每項(xiàng)賽事限報(bào)一人,每項(xiàng)賽事取前五名積分并發(fā)獎(jiǎng)金.前五名分別記7,5,4,3,2,1,分別發(fā)獎(jiǎng)金100,70,50,20,10元.接力賽項(xiàng)目得分加倍,獎(jiǎng)金增加4倍;破紀(jì)錄得分和獎(jiǎng)金均增加3倍.

100米比賽后各個(gè)隊(duì)的得分與獎(jiǎng)金表應(yīng)是A100B,

根據(jù)此矩陣可以排出團(tuán)體名次.

當(dāng)有運(yùn)動(dòng)員破記錄時(shí),第1名的得分與獎(jiǎng)金分別變?yōu)樵瓉淼?倍,其他不變,各名次得分與獎(jiǎng)金矩陣為

對(duì)于接力賽各名次與獎(jiǎng)金矩陣為

例5 小行星的軌道問題.

天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道,他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系,在兩坐標(biāo)軸上取天文單位(一天文單位等于地球到太陽的平均距離:1.4959787×1011m).在5個(gè)不同的時(shí)間對(duì)小行星作了5次觀察,測(cè)得5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如下表:

由開普勒第一定律可知,小行星的軌道為一橢圓,現(xiàn)建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以供研究.

首先假設(shè)橢圓的一般方程為

那么滿足上述5個(gè)點(diǎn)的橢圓是唯一的.將上述5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的一般方程,得

在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想,有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力,教師有目的的創(chuàng)造一些實(shí)際情景,讓學(xué)生自己動(dòng)手解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題,有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,以克服教學(xué)中的枯燥氣氛.

總之,雖然由于種種原因線性代數(shù)難教難學(xué),但注意抓住問題主線,把握宏觀定義與微觀定義的特點(diǎn),滲透一些數(shù)學(xué)建模思想,是能夠教好線性代數(shù),使學(xué)生學(xué)起來簡(jiǎn)單易懂.

[1] 劉學(xué)質(zhì).關(guān)于線性代數(shù)課程和教法改革的思考[C]∥大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇2006論文集.北京：高等教育出版社, 2006：276-278.

[2] 姜廣峰.將數(shù)學(xué)建模思想融入到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)中的探索與實(shí)踐[C]∥大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇2007論文集.北京：高等教育出版社,2007：213-218.

[3] 杜建衛(wèi).論線性代數(shù)證明題教學(xué)[J].工科數(shù)學(xué),2000,16(3)：106-109.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M].5版.北京：高等教育出版社,2007.

O151.2;G424.1

C

1672-1454(2011)05-0179-06

2008-12-09