指數級數前n次多項式零點的性狀分析與控制估計

陳 剛, 朱文輝

(南通職業大學基礎課部 江蘇南通 226007)

指數級數前n次多項式零點的性狀分析與控制估計

陳 剛, 朱文輝

(南通職業大學基礎課部 江蘇南通 226007)

對指數級數中前n次多項式的零點的性質進行分析,得到了零點數量及其變化趨勢的一系列結果.利用Taylor公式給出了具有解析表達式的零點控制區間,進一步運用指數級數的余項分析和Stirling公式給出了精度更高的零點控制區間,同時得到了尋求零點的計算方法,這種算法的精度能夠達到任意要求,對高次多項式零點的計算能大幅減少運算量.

前n次多項式;零點的性狀;控制區間;精度估算

它們在對Pn(x)的研究中起著重要的作用.本文擬研究多項式Pn(x)的零點狀況,并對其變化趨勢和控制區間進行探討,進而給出數值控制與零點計算的一種簡便方法.

1 Pn(x)零點的存在性與零點數量

綜合文獻[1]中的三個問題可得到定理的證明.這里運用數學歸納法給出一個更簡潔的證明.

證m=1時,P1(x)=1+x有唯一零點x=-1,

設m=k時結論成立,利用(1)式,考慮m=k+1的情形.由歸納假設,P′2k+1(x)=P2k(x)＞0,故P2k+1(x)單調遞增.又P2k+1(x)是奇次多項式,首項系數為正,故

所以P2k+1(x)=0有唯一實根,記作ξ.

因為P′2k+2(x)=P2k+1(x),P2k+1(x)單調遞增,P2k+1(ξ)=0,所以P2k+1(x)當x＞ξ時為正,當x＜ξ時為負,故P2k+2(x)在x=ξ處取得最小值,即

顯然ξ≠0,因而P2k+2(x)＞0,沒有零點.于是歸納法完成.

推論1 設ξ2n-1是P2n-1(x)的零點(n∈N+),則ξ2n-1＜0.

證 由定理1的證明知,P2n-1(x)單調遞增,而P2n-1(0)=1＞0,所以ξ2n-1＜0.

可見下面關于Pn(x)零點的性質,只需針對n是奇數,并且當x＜0時的情形進行討論.

2 P2n-1(x)零點序列的單調性與變化趨勢

定理2 設ξ2n-1是P2n-1(x)的零點(n∈N+),則有ξ2n+1＜ξ2n-1,即序列{ξ2n-1}單調遞減.

證由(1)式,P2n+1(x)比P2n-1(x)多兩項,當x=-(2n+1)時這兩項的和為零,再根據P2n-1(x)單調遞增,可得

3 P2n-1(x)零點具有解析表達式的控制區間

由定理1可知,指數多項式P2n(x)和P2n-1(x)在后者零點ξ2n-1左側的性態與ex的差異很大,所以確定ξ2n-1的位置對于級數逼近效果有重要意義.零點序列{ξ2n-1}單調遞減并趨于負無窮,表明了它的變動趨勢,但從數值計算的角度,更看重零點的區間控制.從定理2的證明中得到一個控制不等式-(2n-1)＜ξ2n-1＜ξ1=-1(n＞1),但這個控制區間很粗糙.下面利用Taylor公式構造更好的控制區間.函數ex的Taylor公式為

將P2n-1(x)的零點ξ2n-1代入,得到

取θ=0和θ=1,注意到ξ2n-1＜0,可得到控制不等式

(2)式右邊的不等式兩邊取對數整理,并記y=-ξ2n-1,得到

(3)式左邊的函數關于y單調遞增,因此求得方程y+2nlny=ln[(2n)!]的根y=B(n),就可得到不等式(3)的解y＞B(n),從而ξ2n-1＜-B(n),這是零點ξ2n-1的控制上限.

整理得到β+lnβ+1＞0.左邊的函數關于β單調遞增,所以求得方程β+lnβ+1=0的唯一根β＊,即得不等式的解β＞β＊,從而有不等式(3)的一個弱解為y＞2β＊n.于是ξ2n-1＜-2β＊n,這是零點ξ2n-1的具有解析表達的控制上限.不難求得β＊的數值解β＊=0.2785,于是得到P2n-1(x)零點ξ2n-1的一個控制區間為

對正整數n,尋求2n-1次方程P2n-1(x)=0的根,在作數值計算(如牛頓切線法等)時,控制區間的上、下限可以直接作為計算的初值,也可以上下限的中點作為計算的初值,從而能省略初值試算的步驟,減少計算工作量.

4 P2n-1(x)零點控制限的改進

在函數ex的冪級數展開式中,將P2n-1(x)的零點ξ2n-1代入,并記y=-ξ2n-1,得到

由于0＜y＜2n-1,所以上式右端是絕對值逐項縮小的交錯級數,因此得到控制不等式

右邊的不等式取對數后即不等式(3),左邊的不等式取對數整理可化為

結合(4)式右邊的不等式,可得

易證,上式左邊的函數關于y單調遞增,所以求得該函數惟一的零點y=nαn,即得不等式(7)的解y＜nαn,其中αn由方程

確定.于是ξ2n-1＞-nαn,-nαn可作為零點ξ2n-1的控制下限.

同理,結合(4)式的左邊及不等式(3),解得y＞nβn,其中βn由方程

確定.于是ξ2n-1＜-nβn,-nβn可作為零點ξ2n-1的控制上限.

這樣我們得到了P2n-1(x)零點ξ2n-1的一個更精確的控制區間為

其中αn,βn分別由方程(8)和(9)確定,運用數值解法不難求得.

例如n=2時,解方程

相比之下,改進后控制區間的精度確實提高許多.

在控制區間ξ2n-1∈(-nαn,-nβn)中,αn,βn需要對不同的n,逐個地通過求方程的數值解確定,應用起來還是不夠方便.不過從方程(8)和(9)不難看出,αn,βn都隨n單調遞減,因此當a≤n≤b時,αn≤αa, βn≥βb,控制區間便可簡化為

對于不同的n,只需計算少量系數,便可分段構造控制區間.具體的控制區間如表1所示.

表1 按冪次數分列的指數多項式零點控制區間

5 P2n-1(x)零點的控制精度與數值估算

依照上述算法的基本思路,保留級數(5)更多的項,零點的控制限還可改進,通過對應的確定αn,βn的方程,得到比表1更精確的控制區間.從理論上說,利用級數(5)構造的控制區間,精度能夠達到任意要求.因而這種方法可以代替直接搜索方程P2n-1(x)=0的根,尤其當n較大時,能夠避免冗長的算式輸入和龐大的階乘運算,大幅縮減計算量.

例如對于n=100,保留級數(5)的3項和4項,求下列方程的數值解:

得到α100=0.56530,β100=0.56524,從而199次方程P199(x)=0的根ξ199的控制區間為

于是得到精確到0.1的解ξ199=-56.5.若取控制區間的中點ξ199=-56.527作為近似值,則誤差不超過0.003,相對誤差為0.0053%.

零點近似值的誤差能夠在事先進行估計.分析確定αn,βn的方程可以發現,保留級數(5)的k-1項和k項,取控制區間的中點作為近似值,其誤差大致為

其中^αn,^βn分別是αn,βn的估計值,比如方程(8)和(9)確定的αn,βn就是一對估計值.也可直接查表1,以αa,βb作為估計值,即取^αn=αa=βb.

例如對于n=50,由表1查得(α33+β64)/2=0.5735,則99次方程P99(x)=0根的初步近似值為ξ99=-0.5735×50=-28.7.若希望此根精確到三位小數,要求誤差δ=0.0005,則

向上取整k=6,即應保留級數(5)的5項和6項計算零點的近似值.若取k=8,則誤差為δ=(0.28675)8/2=0.000023,可精確到四位小數.這是大致的估計,待算出α50,β50的值后會有進一步的精度估算.

[1] 波利亞G,舍貴G..數學分析中的問題和定理(第二卷)[M].上海：上海科學技術出版社,1985.

[2] 蔡聰明.談Stirling公式[J].數學傳播,1993,17(2)：1-9.

[3] 舒春陽.高等數學中的若干問題解析[M].北京：科學出版社,2005.

Characteristic Analysis and Controlling Estimation of the Zero Point of the Firstnth Sum Polynomial of the Exponential Series

CH EN Gang Z HU Wen-hui
(Nantong Vocational College,Nantong,Jiangsu 226007,China)

A series of results about the number of zero points and their changing trend are obtained through the analysis to the properties of zero points of the first nth sum polynomial of the exponential series.By use of the Taylor formula,the zero point controlling interval with the analytic expressions are given,furthermore,by using the analysis to the remainder term of the exponential series and the Stirling formula,the controlling interval which has the higher accuracy are also given,and meanwhile the calculation method for seeking zero point are obtained,which can meet any required accuracy and thus greatly reduce the computation for calculating the zero points of the higher-degree polynomial.

the first nth sum polynomial;characteristic of zero point;controlling interval;accuracy estimation

O173

A

1672-1454(2011)05-0089-05

2009-03-17;[修改日期]2009-12-10