一類反向混合單調算子新不動點定理的推廣

邵海成, 趙喜來

(1.商丘師范學院軟件學院,河南商丘 476000; 2.鶴壁職業技術學院,河南鶴壁 458030)

一類反向混合單調算子新不動點定理的推廣

邵海成1, 趙喜來2

(1.商丘師范學院軟件學院,河南商丘 476000; 2.鶴壁職業技術學院,河南鶴壁 458030)

利用錐理論和非對稱迭代方法,討論了一類反向混合單調算子的不動點的存在唯一性,得到了若干不具有連續性和緊性條件的有關反向混合單調算子的新不動點定理,所得結果是某些已有結果的本質改進和推廣.

錐與半序;反向混合單調算子;不動點;非對稱迭代

混合單調算子和反向混合單調算子是兩類重要的算子,廣泛存在于非線性積分方程和微分方程的研究中.關于Banach空間中非線性混合單調算子方程A(x,x)=x的迭代求解問題,已有許多研究[1-7],并得到了一批好的結果,但對于反向混合單調算子解的存在性問題卻涉及甚少.文[4]研究了一類混合單調算子的不動點定理,文[5]在此基礎上作了一定的推廣.本文對算子的連續性和緊性不作任何假定,利用了非對稱迭代法解決了半序空間中慣用的對稱迭代法所無能為力的問題.討論了反向混合單調算子方程A(x,x)=x解的存在性,并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計,改進和推廣了已有文獻中的相應結果.

1 預備知識

本文總假設E為實Banach空間,P為E中正規錐,N為其正規常數,θ表示E中的零元素,E中半序≤由錐P導出[8],設u0,v0∈E,用D=[u0,v0]表示E中的序區間.

定義1[1]稱二元算子A∶D×D→E為混合單調算子,如果A(x,y)對每一個固定的y∈D關于x是增的,對每一個固定的x∈D關于y是減的.

定義2[8]稱二元算子B∶D×D→E為反向混合單調算子,若

(i)對每個固定的v∈D,B(u,v)在D上關于u是單調遞減的,即?u1＜u2∈D,有B(u2,v)≤B(u1,v),u0≤v≤v0;

(ii)對每個固定的u∈D,B(u,v)在D上關于v是單調遞增的,即?v1＜v2∈D,有B(u,v1)≤B(u,v2),u0≤u≤v0.

2 主要結果

定理1 設P是實Banach空間E中正規錐,A∶D×D→E是反向混合單調算子,若存在正有界線性算子L∶E×E→E且算子L的譜半徑r(L)＜1使得

則方程A(x,x)=x在D中存在解x＊,對任意x0,y0∈D且x0≤y0,作迭代序列

證考察迭代序列(2),令

由(1)式及迭代序列(4)可知u1=u0+L(v0-u0)≤A(u0,v0)=v1≤v0,所以u0＜u1≤v1≤v0.再由A的反向混合單調性及歸納假設,有

其中I為恒等算子.記H=I-L,故由(5)式知,對任意自然數n,p,有

所以{un}是Cauchy列.同理{vn}也是Cauchy列.

由E的完備性,存在u＊,v＊∈D,使

且un≤u＊≤v＊≤vn.再由θ≤v＊-u＊≤vn-un與錐P的正規性易知

由un≤un+p≤vn,令p→∞,得

又在(1)中取u=v=x＊(因x＊≤A(u0,v0)),則有x＊≤A(x＊,x＊),所以x＊≤A(x＊,x＊)≤vn,則由錐P的正規性可得

從而A(x＊,x＊)=x＊,即x＊為A(x,x)=x在D中的解.

最后由‖un+p-un‖≤Nαn‖v0-u0‖,令p→∞得誤差估計式(3).

仿定理1的證明,有

定理2 設P是實Banach空間E中正規錐,A∶D×D→E是反向混合單調算子.若存在正有界線性算子L∶E×E→E且算子L的譜半徑r(L)＜1,使得

則方程A(x,x)=x在D中存在解x＊.對任意x0,y0∈D且x0≤y0,作迭代序列

且有誤差估計式(3)成立.

注1 本文定理1,2把文獻中[5]定理1,2中的常數推廣到了線性算子L,拓寬了定理的適用范圍.

當A未必反向混合單調時,我們有下述定理

定理3 設P是實Banach空間E中正規錐.若A滿足條件:

(i)存在正有界線性算子L∶E×E→E且算子L的譜半徑r(L)=β＜1,使得

(ii)存在0≤b＜1且β＜1+b,使得b(x2-x1)≤A(x1,y1)-A(x2,y2),

則有定理1的結論成立,此時誤差估計(3)變為

其中γ=1-β/(1+b).

證令B(x,y)=[A(x,y)+by]/(1+b),x,y∈D.由(i)知

且u0≤u≤v≤B(u0,v0)≤v0.又由(ii)知,對任給的u1≤u2,v2≤v1,ui,vi,(i=1,2)∈[u0,v0],

所以B(u1,v1)≥B(u2,v2),即B∶D×D→E為反向混合單調算子.

由以上結論知算子B滿足定理1的所有條件,仿定理1的證明有方程B(x,x)=x在D中有解x＊.又由B的定義知B(x＊,x＊)=(A(x＊,x＊)+bx＊)/(1+b)=x＊,即A(x＊,x＊)=x＊,所以x＊為方程A(x,x)=x在D中解.且誤差估計(3)變為

其中γ=1-β/(1+b)＜1.

定理4 設P是實Banach空間E中正規錐.若A滿足條件:

(i)存在正有界線性算子L∶E×E→E且算子L的譜半徑r(L)=β＜1,使得

(ii)存在0≤b＜1且β＜1+b,使得

則有定理1的結論成立,此時誤差估計(3)變為

其中c=1-β/(1+b).

證令B(x,y)=[A(x,y)+by]/(1+b),x,y∈D,仿定理3的證明可得結論.

注2 本文定理3,4給出了算子A未必反向混合單調時仍有相應的結論,而在文獻[4,5]中沒有建立與上述結論相應的結論.

注3 本文結論對算子A在連續性和緊性方面沒有任何假定.

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[8] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟南：山東科學技術出版社,1985.

Generalizations of New Fixed Point Theorems of Some Anti-Mixed Monotone Operators

S HAO Hai-cheng1,Z HAO Xi-lai2
(1.Department of Software,Shangqiu Teachers colloge,Shangqiu Henan 476000,China; 2.Hebi College of Vocation and Technology,Hebi,Henan 458030,China)

By using the cone theory and non-symmetry iteration method,we study the existence and uniqueness of fixed point for aclass of anti-mixed monotone operators,and obtain some new fixed point theorems of anti-mixed monotone operators which have no continuous and compact conditions,the results presented here improve and generalize some corresponding results.

cone and partial ordering;anti-mixed monotone operator;fixed point;non-symmetric iteration

O177.91

A

1672-1454(2011)05-076-04

2009-01-11;[修改日期]2009-04-07

河南省教委科研基金資助項目(200410483004)