具有脈沖效應的害蟲管理系統的滅絕性與持續性

陶有德

(1.信陽師范學院數學與信息科學學院,河南信陽 464000; 2.北京信息控制研究所,北京 100037)

具有脈沖效應的害蟲管理系統的滅絕性與持續性

陶有德1,2

(1.信陽師范學院數學與信息科學學院,河南信陽 464000; 2.北京信息控制研究所,北京 100037)

研究一類具有脈沖效應的害蟲管理系統,討論了系統的滅絕性和持續性,給出了系統滅絕和持續生存的閾值條件,并對所得結論進行了數值模擬.

脈沖效應;滅絕;持續;全局漸近穩定

1 引 言

害蟲管理系統是一種綜合利用生物控制、化學控制等手段進行害蟲綜合管理的系統.其中,生物控制主要通過捕食食餌(如害蟲等)和投放捕食者(如天敵等)的方法進行,化學控制則主要通過投放農藥(如殺蟲劑等)的方法進行.害蟲管理的目標是控制害蟲數量使之不超過經濟危害水平,而不是徹底滅絕害蟲.徹底滅絕害蟲可能造成天敵泛濫,形成另外一種新的災害,同時也無法保證生態系統的生物多樣性.因此比較可行的害蟲管理方法是適當選擇天敵或農藥的投放數量和投放時間,做到既控制害蟲生長又保護天敵生存,使得害蟲與天敵共存.由于人類進行害蟲管理的行為和外部環境的影響不宜考慮成為連續的,加上人為的投放天敵或農藥可能使得天敵及害蟲密度呈脈沖式的增加或減少,因此為更精確地描述系統的演變過程,在建立害蟲管理系統時應充分考慮這種脈沖現象.

2 模型建立及預備知識

為此,本文在文獻[1,2]的基礎上,主要研究以下帶有脈沖投放染病害蟲的害蟲管理系統：

其中S(t)和I(t)分別代表時刻t時易感害蟲的密度和染病害蟲的密度,β＞0和ω＞0分別代表轉移率和死亡率,r＞0是內稟生長率,K＞0是環境容納量,τ是脈沖投放周期,u＞0是每個周期內投放染病害蟲(驅除易感害蟲)的數量,0＜θ＜1.在模型中總假設所有新出生的都是易感的,易感害蟲損害農作物,染病害蟲永遠不能恢復且不損害農作物.

為便于敘述并證明本文的主要結果,在此給出幾個引理.

引理1[3]設X(t)=(S(t),I(t))是系統(1)的一個任意解,且X(0+)≥0,則對于任意t≥0,有X(t)≥0.進一步有若X(0+)＞0,則對于任意t＞0,有X(t)＞0.

引理2 設X(t)=(S(t),I(t))是系統(1)的一個任意解,則存在M＞0,使得當t充分大時,總有S(t)≤M,I(t)≤M.

因此V(t)是一致有界的,從而存在M＞0,使得當t充分大時,總有S(t)≤M,I(t)≤M.

在系統(1)中,若令S(t)=0,則得到系統(1)的一個子系統,即

對于系統(2),有以下兩個重要結論.

引理3 系統(2)存在一個正周期解

引理4 若I＊(t)是系統(2)的一個正周期解,則(0,I＊(t))是系統(1)的害蟲滅絕周期解.

證由引理3,結論顯然成立.

3 主要結果

3.1 系統(1)的滅絕性.

定理1 若

則系統(1)的害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是全局漸近穩定的.

證首先證明害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是局部漸近穩定的.為此,設X(t)=(S(t),I(t))是系統(1)的一個任意解,且S(t)=u1(t),I(t)=u2(t)+I＊(t),則系統(1)在(0,I＊(t))處的線性系統是

令φ(t)是系統(4)的基解矩陣,則

因為在下面的計算中不涉及＊部分,所以這里沒有必要計算并給出其具體表達式.注意到系統(4)第三與第四個方程可以表示為

因此(0,I＊(t))的穩定性由單值矩陣

的特征值所確定.記M的特征值分別為λ1和λ2,則

此時容易驗證：若(3)成立,則|λ1|=λ1＜1,|λ2|＜1.因此由Floquet乘子理論,害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是局部漸近穩定的.

其次證明害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是全局吸引的.為此,選取ε＞0,使得

對(5)在(nτ,(n+1)τ]上積分,得

下面證明當t→∞時I(t)→I＊(t).由于S(t)→0(t→∞),因此對于0＜ε≤ω,當t充分大時,總有0＜S(t)＜ε.為方便起見,不妨假設對于任意t≥0,有0＜S(t)＜ε.此時由方程(1),有

因此由比較定理及引理3,y1(t)≤I(t)≤y2(t)且y1(t)→I＊(t),y2(t)→y(t)(t→∞),其中y1(t)和y2(t)分別是

因此對于任意給定的ε1＞0,當t充分大時,有

令ε1→0,則y＊2(t)→I＊(t),故I(t)→I＊(t)(t→∞).

綜合上述證明,害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是全局漸近穩定的.

3.2 系統(1)的持續性.

定理2 若

則系統(1)是持續的.

證設X(t)=(S(t),I(t))是系統(1)的一個任意解.由引理2,存在M＞0,使得當t充分大時,總有S(t)≤M,I(t)≤M.為簡單起見,不妨假設對于任意t≥0,恒有S(t)≤M,I(t)≤M.由引理3,對于給定的ε0＞0,當t充分大時,有I(t)＞I＊(t)-ε0.令m2=I＊(t)-ε0,則當t充分大時,有I(t)＞m2.

下面證明存在m1＞0,使得當t充分大時,有S(t)＞m1.為此,分以下兩個步驟進行.

步驟1. 選取m3＞0及充分小的ε＞0,δ＞0,使得

下面將證明對于任意t≥0,不等式S(t)＜m3不成立.否則,由(t)≤I(t)(δ-ω)和引理3,有I(t)≤z(t)且z(t)→z＊(t)(t→∞),其中z(t)滿足

是系統(8)的一個正周期解.因此對于任意給定的ε＞0,存在τ1＞0,當t＞τ1時,有

于是對于任意n∈N,當n→∞時,有S((N1+n)τ)≥S(N1τ+)exp(nη1)→∞,產生矛盾.故存在t1＞0,使得S(t1)≥m3.

選取n2,n3∈N,使得

因此在[t＊,t＊)上對(10)積分,有S(t)≥S(t＊)exp(η2(t-t＊)).于是當t∈[t＊,t＊)時,有

令m1=m3exp(η2(1+n2+n3)τ),則m3＞m1.注意到當t∈[t1,t＊)∪[t＊,t2)時,有S(t)≥m3＞m1,且S(t＊)=m3＞m1,S(t＊)=m3＞m1,因此當t∈[t1,t2]時,總有S(t)＞m1.

對于S(t2)≥m3,重復上述過程繼續進行討論,最終可以證明對于任意t＞t1,均有S(t)＞m1成立.

至此,已經證明：存在m1＞0,m2＞0,使得當t充大時,總有S(t)＞m1,I(t)＞m2.取m=max{m1,m2},則當t充分大時,總有S(t)＞m,I(t)＞m,故系統(1)是持續的.

4 數值模擬

本文利用脈沖微分方程的理論和方法,研究了一類具有脈沖效應的害蟲管理系統,并給出系統滅絕和持續的閾值條件.

為驗證上述結論,現借助Matlab對系統(1)進行數值模擬實驗.為驗證系統(1)的滅絕性,選取r=4,θ=0.9,β=1,ω=0.5,u=0.98,K=6,τ=0.4,得到系統(1)中變量S(t),I(t)的時間序列圖與相圖,如圖1(1),(2),(3)所示.

圖1 系統(1)變量S(t),I(t)的時間序列圖和系統(1)的相圖(u=0.98)

由圖1,系統(1)的害蟲滅絕周期解是全局漸近穩定的.此時τ=0.4,u=0.98滿足閾值條件

這與本文所得結論是一致的,表明適當選擇染病害蟲的投放數量和投放周期,可以達到滅絕害蟲的目的.

為驗證系統(1)的持續性,選取r=4,θ=0.9,β=1,ω=0.5,u=0.34,K=6,τ=0.4,得到系統(1)中變量S(t),I(t)的時間序列圖與相圖,如圖2(4),(5),(6)所示.

圖2 系統(1)變量S(t),I(t)的時間序列圖和系統(1)的相圖(u=0.34)

由圖2,系統(1)中害蟲與天敵是持續共存在的.此時τ=0.4,u=0.34滿足閾值條件

這與本文所得結論也是一致的,表明適當選擇染病害蟲的投放數量和投放周期,可以做到既控制害蟲生長又保護天敵,使得害蟲與天敵持續共存.

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The Extinction and Permanence of Pest Management System with Impulsive Effect

TAO You-de1,2(1.College of Mathematics and Information Sciences,Xinyang Normal University,Xinyang Henan 464000,China; 2.Beijing Institute of Information Control,Beijing 100037,China)

A pest management system with impulsive effect is studied in this paper.The extinction and permanence of system is discussed,and the conditions of the extinction and permanence are given.Furthermore,those results obtained in this paper are confirmed by numerical simulation.

impulsive effect;extinction;permanence;global asymptotic stability

O175.1

A

1672-1454(2011)05-0027-06

2008-11-24;[修改日期]2009-03-30