歸納、猜想與證明

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(嘉興市第一中學實驗學校 浙江嘉興 314001)

歸納、猜想與證明

●陸洪良

(嘉興市第一中學實驗學校 浙江嘉興 314001)

隨著新課程標準的推行和考試觀念的轉變，以注重培養學生的發現思維能力與解決問題能力的新題型越來越多地涌現，其中歸納、猜想與證明等問題備受青睞．那么，什么是歸納、猜想與證明呢？歸納、猜想與證明指的是給出一定的條件(可以是有規律的算式、圖形或圖表等)，讓學生認真分析、仔細觀察、綜合歸納、大膽猜想、得出結論，進而加以驗證(或證明)的數學探索問題．其解題思維過程是：從特殊情況入手→探索發現規律→綜合歸納→猜想得出結論→驗證(或證明)結論．這類問題形式多樣、方法靈活多變、技巧性強，學生普遍感到束手無策．本文試圖通過數與式、函數、幾何圖形和操作性4種類型的問題來闡述這類題型的解題思想方法．

1 數與式類型

例1計算：21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…．歸納各計算結果中的個位數字規律，猜測22 011-1的個位數字是

( )

A．1 B．3 C．7 D．5

解因為21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，26-1=63，27-1=127，28-1=255，…，可以發現，個位數字呈1，3，7，5周期性循環，而22 011=24×502+3，所以22 011-1的個位數是7．故選C．

例2觀察下面的幾個算式：

1+2+1=4，

1+2+3+2+1=9，

1+2+3+4+3+2+1=16，

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…

根據你所發現的規律，請直接寫出下面式子的結果：

1+2+3+…+2 010+2 011+2 010+…+

3+2+1=________．

分析這是一道數字類探索性問題.解這一類型題目要用到歸納推理，經過觀察知道：加數排列成“回文”的形式，依次從小到大，再從大到小的連續正整數，而所得的和恰好是最大(最中間)數的平方，因此不難得出結論是2 0112．

數與式類型問題反映了由特殊到一般的數學方法，同時培養學生的分析、歸納、抽象、概括能力，因此在處理此類問題時，一定要依據題意，從最簡單情形出發，發現其中的規律，并通過大膽地猜想、歸納、驗證，從而得出正確的結論．數學史上有很多重要的發現，如哥德巴赫猜想、四色猜想、費爾馬大定理等就是由數學家的探索、猜想而得的.數學的學習必須不斷地去探索、猜想、總結規律，這樣才會有所發現、有所創造．

圖1

2 函數類型

(2007年全國初中數學聯賽試題改編)

解先從最簡單的情形著手：求出點A1,A2,A3,A4的坐標，進而歸納猜想得到An的坐標并驗證．如圖1，分別過點P1,P2作x軸的垂線，垂足分別為B1,B2.設OB1=a，A1B2=b，則

解得

于是

例4如圖2，在直角坐標系中，已知點M0的坐標為(1,0)，將線段OM0繞原點沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到點M1，使得M1M0⊥OM0，得到線段OM1；又將線段OM1繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到點M2，使得M2M1⊥OM1，得到線段OM2，如此下去，得到線段OM3，OM4，…，OMn．

圖2

(1)寫出點M5的坐標；

(2)求△M5OM6的周長；

(3)我們規定：把點Mn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的橫坐標xn，縱坐標yn都取絕對值后得到的新坐標(|xn|,|yn|)，稱之為點Mn的“絕對坐標”．根據圖中點Mn的分布規律，請你猜想點Mn的“絕對坐標”，并寫出來．

解(1)M5(-4，-4)．

(2)由規律可知，

(3)由題意知，OM0旋轉8次后回到x軸的正半軸.在這8次旋轉中，點Mn分別落在坐標象限的分角線上或x軸或y軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，因此點Mn的“絕對坐標”可分為以下3類情況：令旋轉次數為n．

3 幾何類型

例5如圖3，觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式，探究其中的規律：

(1)請你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對應的等式;

(2)通過猜想，寫出與第n個圖形相對應的等式．

解通過觀察分析，順著3個已知式子的書寫規律即可寫出式④和式⑤，進而可以推出其一般規律：

(1)因為①4×0+1=4×1-3；②4×1+1=4×2-3；③4×2+1=4×3-3，所以可類似地推得:④4×3+1=4×4-3和⑤4×4+1=4×5-3．

(2)由已知條件結合第(1)小題的結論可得，第n個圖形相對應的等式為：

4(n-1)+1=4n-3．

圖3

例6如圖4,5,6，點D，E分別是正△ABC、正方形ABCM、正五邊形ABCMN中以點C為頂點的相鄰2條邊上的點，且BE=CD，DB交AE于點P．

(1)求圖4中∠APD的度數．

(2)圖5中∠APD的度數為________，圖6中∠APD的度數為________．

(3)根據前面的探索，能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況.若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．

圖4 圖5

圖6 圖7

分析本題從特殊圖形(正三角形)出發，進行規律探索，通過對圖形的觀察和變化情況的分析，合理地進行猜想、驗證，并由特殊到一般地進行引申推廣．

解(1)由△ABC為等邊三角形，可得

AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°，

又由BE=CD，得

△ABE≌△BCD，

因此

∠BAE=∠CBD，

故 ∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=

∠ABE=60°．

(2)90°，108°．

(3)能.如圖7，點E，D分別是正n邊形ABCM…上以點C為頂點的相鄰2條邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，則

評注本題的本質就是進行歸納、猜想、類比和聯想，作出判斷和推理論證．

4 操作類型

第0次操作： 2 3

第1次操作： 2 5 3

第3次操作： ……

(1)請寫出第3次操作后所得到的9個數，并求出它們的和；

(2)經過k次操作后所有數的和記為Sk，第k+1次操作后所有數的和記為Sk+1，寫出Sk+1與Sk之間的關系式；

(3)求S6的值.

(2)由題設知S0=5，因此

所以

于是

故

圖8

例8如圖8所示，對面積為1的△ABC逐次進行以下操作：第1次操作，分別延長AB，BC，CA至點A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連結A1，B1，C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第2次操作，分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連結A2，B2，C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；…；按此規律繼續下去，可得到△AnBnCn，則其面積Sn=________．

分析從最簡單的情形出發，先求△A1B1C1的面積.連結BC1,由AC1=2AC，可得

S△ABC1=2S△ABC=2；

又由A1B=2AB，得

S△A1BC1=2S△ABC1=2×2=4，

于是S△A1AC1=S△A1BC1+S△ABC1=4+2=6.

同理可得

S△A1B1B=6；S△B1CC1=6.

因此S△A1B1C1=S△A1BB1+S△B1CC1++S△AA1C1+S△ABC=

3×6+1=18+1=19.

同理可得

S△A2B2C2=19S△A1B1C1=192；

S△A3B3C3=19S△A2B2C2=193；

…

進而可推得，S△AnBnCn=19n．

綜上所述，對于這4種類型問題的求解，首先要仔細審題，看清楚題目所求的未知量是什么；然后找出各個未知量之間的聯系，這其中就包括了在尋找未知量的拓展過程中，哪些量變了，哪些量沒有變；最后根據這些聯系列出通項求解．在遇到具體關系很難找的問題時，不妨先寫出第1項，第2項，第3項，…，然后去找其存在的規律．偉大的科學家牛頓說過，“沒有大膽的猜測就做不出偉大的發現”．因此在數學教學中，要注重培養學生主動地觀察、實驗、猜測、驗證、推理論證的能力，提高學生自主學習與分析、解決問題的能力.衷心希望學生的思維能力和數學素養能得到全面的提高．