函數(shù)的妙用

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(紹興縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 浙江紹興 312030)

函數(shù)的妙用

●毛幼娥

(紹興縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 浙江紹興 312030)

函數(shù)的實(shí)質(zhì)是表述運(yùn)動(dòng)與變化過(guò)程中的變量間的動(dòng)態(tài)關(guān)系.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)動(dòng)與變化的觀念,是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一.本文結(jié)合實(shí)例對(duì)與之有關(guān)的問題作一些剖析，以便能從中領(lǐng)略此類問題的一些處理方式和解決策略.

1 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

根據(jù)式子的特點(diǎn)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，以利用其性質(zhì)解題.

分析本例不等式的左邊與右邊有明顯的共同特征,據(jù)此可構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，運(yùn)用此函數(shù)的遞增性給出證明.

因此f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，而

0lt;|a+b|≤|a|+|b|，

于是

f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),

即

例2設(shè)x,y,z∈(0,1)，求證：

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

分析此題中的變量x，y，z有輪換對(duì)稱性,可考慮構(gòu)造其中一個(gè)變量的函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性給出證明.

證明設(shè)f(x)=(1-y-z)x+y+z-zy-1(0lt;xlt;1),把y,z看作常數(shù)，則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù).因?yàn)?/p>

f(0)=y+z-yz-1=-(y-1)(z-1)lt;0,

f(1)=(1-y-z)+y+z-yz-1=-yzlt;0,

所以對(duì)于0lt;xlt;1，都有f(x)lt;0，即

(1-y-z)x+y+z-zy-1lt;0,

故

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

例3a，b，c是三角形的3條邊長(zhǎng)，求證：

2 妙用函數(shù)圖像解方程

華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的.

例4設(shè)方程-x2+4x-3-m=0在0≤xlt;3上有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析方程左邊是二次函數(shù)，它在區(qū)間上有唯一解.這些特征適宜借助函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合解題.

圖1

解考慮函數(shù)y=-x2+4x-3和y=m，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這2個(gè)函數(shù)的圖像(如圖1).y=m的圖像是與y軸垂直的直線，可以上下平行移動(dòng).在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)它和拋物線弧段y=-x2+4x-3(0≤xlt;3)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m需滿足

-3≤m≤0或m=1.

故m的取值范圍是-3≤m≤0或m≤1.

分析學(xué)生最容易犯錯(cuò)的解法是將已知條件轉(zhuǎn)化為a+4lt;5-3a，因?yàn)榇藭r(shí)不是單調(diào)性問題了.若用通常的不等式解法，則不僅繁瑣，而且不易考慮周全；若能借助圖像，則過(guò)程就清晰多了.

圖2

a+4gt;0，5-3agt;0.

a+4lt;0或5-3alt;0，

( )

A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)

圖3

分析如果采用去分母的方法轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，那么又化為解一個(gè)三次方程了；但若采用等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，則利用函數(shù)圖像就容易解決了.

3 應(yīng)用函數(shù)建模解決實(shí)際問題

一次函數(shù)、二次函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，函數(shù)應(yīng)用題可考查學(xué)生的建模能力.具體解題過(guò)程則仍可用如下的圖解方法：

例7某種商品在近30天內(nèi),每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)(t∈N)的函數(shù)關(guān)系近似地滿足:

商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似地滿足:Q=40-t(1≤t≤30).求這種商品日銷售金額R的最大值,并指出銷售金額最大的一天是30天中的第幾天.

分析日銷售金額=日銷售價(jià)格×日銷售量,因此先把日銷售額與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系寫出來(lái),然后根據(jù)函數(shù)解析式求日銷售金額R的最大值,同時(shí)求出銷售金額最大的一天是30天中的第幾天.

解由題意得

即

因此當(dāng)1≤t≤24時(shí),取t=10,最大銷售金額為900元;當(dāng)25≤t≤30時(shí),取t=25,最大銷售金額為1 125元.故這種商品日銷售金額R的最大值為1 125元,銷售金額最大的一天是30天中的第25天.

例8某化工集團(tuán)在靠近某河流區(qū)修建2個(gè)化工廠，流經(jīng)第一化工廠的河流流量為500萬(wàn)立方米/天，在2個(gè)化工廠之間還有一條流量為200萬(wàn)立方米/天的支流并入大河(如圖4).第一化工廠每天排放含有某種有害物質(zhì)的工業(yè)廢水2萬(wàn)立方米；第二化工廠每天排放這種工業(yè)廢水1.4萬(wàn)立方米，從第一化工廠排出的工業(yè)廢水在流到第二化工廠之前，有20%可自然凈化.環(huán)保要求：河流中工業(yè)廢水的含量應(yīng)不大于0.2%，因此，這2個(gè)工廠都需各自處理部分的工業(yè)廢水.第一化工廠處理工業(yè)廢水的成本是1 000元/萬(wàn)立方米；第二化工廠處理工業(yè)廢水的成本是800元/萬(wàn)立方米.試問：在滿足環(huán)保要求的條件下，2個(gè)化工廠應(yīng)各自處理多少工業(yè)廢水，才能使這2個(gè)工廠總的工業(yè)廢水處理費(fèi)用最小？

分析可先根據(jù)已知條件建立函數(shù)模型.

圖4 圖5

解設(shè)第一化工廠每天處理工業(yè)廢水x萬(wàn)立方米，需滿足

設(shè)第二化工廠每天處理工業(yè)廢水y萬(wàn)立方米，需滿足

因此2個(gè)化工廠每天處理工業(yè)廢水總的費(fèi)用為z=1 000x+800y元,于是原問題即可轉(zhuǎn)化為：在約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)z=200(5x+4y)的最小值.

借助于建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)，能解決許多有關(guān)最值、解(證)不等式、解方程等方面的問題.函數(shù)與方程、不等式的結(jié)合體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系；體現(xiàn)了特殊與一般的辨證聯(lián)系.