2011年全國高中數學聯賽模擬卷(二)

2011年全國高中數學聯賽模擬卷(二)

第一試

一、填空題

3.若對一切實數x，能使函數f(x)=sin6x+cos6x+2asinxcosx的取值恒非負，則實數a的取值范圍為________.

4．已知M={(m,n)|n2-6n+8-m3=0,n∈Z,m為質數}，則集合M的子集的個數為________.

6.將一個4×4棋盤中的8個小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有2個黑色方格，則有________不同的染法(用數字作答).

7．正三棱錐底面一個頂點與它所對側面重心的距離為8，則這個正三棱錐的體積的最大值為________.

8.不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax對xgt;0恒成立，則實數a的范圍是________.

二、解答題

(1)求橢圓C的方程；

(1)判斷點Pn與直線l的位置關系；

第二試

三、某種彩票的對獎號是{1,2,…,50}的排列，購買彩票時號碼可自選，開出的中獎號也是{1,2,…,50}的排列，如果對獎號與中獎號有數在同一位置上即為中獎.為確保中獎，最少得買多少張彩票？

四、設S={1,2,...,50},求最小正整數k，使S的任一k元子集中都存在2個不同的數a和b，滿足(a+b)整除ab.

參考答案

第一試

4．4 5．1lt;a≤2 6．90 7．144 8.10

9.解原不等式等價于

當xgt;a或xlt;b時，原不等式等價于

x2-(a+b+2)x+(a+b)+ab≤0.

設f(x)=x2-(a+b+2)x+(a+b)+ab，則

f(a)=b-alt;0,f(b)=a-bgt;0.

設f(x)=0的2個根分別為x1,x2(x1lt;x2)，則滿足f(x)≤0的x構成的區間為(a,x2]，區間的長度為x2-a.

當blt;xlt;a時，同理可得滿足f(x)≥0的x構成的區間為(b,x1]，區間的長度為x1-b.由韋達定理得

x1+x2=a+b+2，

故滿足條件的x構成的區間的長度之和為

x2-a+x1-b=(a+b+2)-a-b=2.

10.(1)解由題意可得

a2=4,b2=2，

因此所求橢圓方程為

(2)證法1設點Q，A，B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2)．由題設得

于是

(1)

(2)

又點A,B在橢圓C上，得

式(1)+式(2)×2并結合式(3)，式(4)得

4x+2y=4,

所以點Q(x,y)總在定直線2x+y-2=0上．

解法2設點Q(x,y),A(x1,y1)，B(x2,y2).由題設得

又由P,A,Q,B四點共線，可得

因此

(5)

(6)

因為A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓C上，將式(5)，式(6)分別代入C的方程x2+2y2=4,整理得

式(7)-式(8)得

8(2x+y-2)λ=0.

又λ≠0,所以

2x+y-2=0，

故點Q(x,y)總在定直線2x+y-2=0上．

11.解(1)對任意的n，點Pn都在直線l上.

因為a1=1,b1=-1，所以

于是直線l的方程為2x+y=1.

②假設當n=k時命題成立，則

當n=k+1時，

因此命題成立.

由①，②可知，對任意的整數n，都有

又2an+bn=1，所以對任意的n，點Pn都在直線l上.

第二試

一、解(1)若FE∥AC，則

代入已知條件，可得

因此HG∥AC，從而E1F1∥AC∥H1G1，故

圖1

(2)若EF與AC不平行，設FE的延長線與CA的延長線相交于點T，則由梅涅勞斯定理得

結合題設得

由梅涅勞斯定理的逆定理知：T,H,G三點共線.設TF,TG與E1H1分別交于點M,N.由E1B∥EF得

同理可得

(9)

(10)

由式(9)，式(10)得

同理可得

所以

二、證明由x2+y2-2xy=(x-y)2，可得

于是

即

同理可得

3個等式疊加得

(11)

應用不等式

得

注意到等式(11)，顯然可知所證的不等式成立．

三、解最少得買26張彩票，此26張中的每張前26個數字為1，2，…，26，排列如下：

1，2，…，26；2，…26，1；3，…，26，1，2；…;26，1，…，25.

而后面只有24個位置，不可能滿足1，2，…，26都在這些位置上，因此必有1張中獎.

下證對任何25張彩票，存在不中獎的可能.

設每張彩票對應數組Ai={ai1,ai2,…,ai50}(i=1,2,…,25).設中獎彩票為{b1,b2,…,b50}，滿足bi≠aj，顯然每個數至少可填在25個不同的位置上,1，2，…，25填入，不會產生問題.

現設填入k成立，證明也可填入k+1(k≥25).若不能，則剩下(50-k)個位置上，存在Ai中的某個數，任選一個位置填入k+1已填的k位置上,含k+1的至多(k-25)個，不含k+1的至少25個.

考慮這25個位置上的數，因為對于(50-k)個位置上的每個位置除了k+1至多還有24個不同數，則可從25個位置上的某位置的數與k+1所在位置上的數調換，滿足到k+1成立，因此可構造一個中獎彩票使任何25張彩票都不中獎.

四、解設a,b的最大公因數為d,a=a1d,b=b1d,則(a1,b1)=1.代入(a+b)|(ab)得

(a1+b1)|(a1b1d).

由

(a1+b1,a1)=(a1+b1,b1)=(a1,b1)=1,

得(a+b)|(ab)的充要條件是(a1+b1)|d.令d=k(a1+b1)，得到滿足條件的所有數組

a=ka1(a1+b1),b=kb1(a1+b1).

可設a1lt;b1≤6,列出S中所有23個(a,b)對,如表1所示.

表1 S中所有23個(a,b)對表

現在以S為頂點集作關聯圖,圖中有26個孤立點：

圖2

1,2,11,13,17,19,22,23,25,26,27,29,31,32,33,34,37,38,39,41,43,44,46,47,49,50,其余24個點(23條棱)分為3個連通支(如圖2).從圖中可以看出,可以選取38個點互不相鄰:26個孤立點以及12個點{14,7,21,5,4,9,8,16,3,40,15,45}.因此k≥39.

另一方面,任一39元子集中至少有13個點不是孤立點，它們分布在12個相鄰對中:

(14,35),(7,42),(21,28),(5,20),(9,18),(4,12),(8,24),(16,48),(3,6),(40,10),(15,30),(45,36),

必有一對的2個數同屬于子集,它們滿足整除條件.故k的最小值是39.

(供稿人:虞金龍)