角元塞瓦定理的應用

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(天津師范大學數學教育科學與數學奧林匹克研究所 天津 300387)

角元塞瓦定理的應用

●李建泉

(天津師范大學數學教育科學與數學奧林匹克研究所 天津 300387)

在數學學習中，平面幾何是訓練學生思維能力的重要環節.競賽中與此相關的知識對于參加自主招生考試的學生來說幫助很大.下面通過塞瓦定理及相關的一些例子加以說明.

塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一點，直線PA,PB,PC與直線BC,CA,AB分別交于點D,E,F，則

塞瓦定理還有一個三角形式的表述.

角元塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一點，直線PA,PB,PC與直線BC,CA,AB分別交于點D,E,F，則

角元塞瓦定理的逆定理若點D，E，F分別是直線BC，CA，AB上的點，且滿足

則AD，BE，CF三線交于一點.

下面只給出當點P在△ABC內時塞瓦定理的證明，其他情形的證明類似.

在△PAB中，由正弦定理可得

即

PA·sin∠BAD=PB·sin∠ABE.

同理可得

PB·sin∠CBE=PC·sin∠BCF;

PC·sin∠ACF=PA·sin∠CAD.

將這3個等式相乘，可得

sin∠BAD· sin∠CBE·sin∠ACF=

sin∠ABE·sin∠BCF·sin∠CAD，

即

下面給出幾個應用角元塞瓦定理的例子.

例1已知O為△ABC內一點，且滿足

∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO，

求證：△ABC的3條邊長成等比數列.

(2011年北京大學保送生考試試題)

分析條件中明顯有AO，BO，CO三線交于一點O的條件，但沒有給出這3條線與對邊的交點，且還給出了與角度有關的條件，應用角元塞瓦定理，再結合分析的方法，可以作為一條尋求解決問題的途徑.

圖1

證明如圖1所示，設∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=α,∠ABO=β，∠BCO=γ，則4α+β+γ=π.由角元賽瓦定理可得

即

sin2α=sinβsinγ.

下面證明BC2=AB·AC.因為

BC2=AB·AC

? sin22α=sin(α+β)sin(α+γ)

? 1+cos(β+γ)=cos(β-γ)+cos2α

? 1+cosβcosγ-sinβsinγ=cosβcosγ+sinβsinγ+

1-2sin2α

? sin2α=sinβsinγ.

注三角形內滿足∠BAO=∠CBO=∠ACO的點O,稱為△ABC的布洛卡點.

例2P為銳角△ABC內一點，直線la和PA關于∠A的角平分線對稱，直線lb和PB關于∠B的角平分線對稱，直線lc和PC關于∠C的角平分線對稱.

(1)證明:la,lb,lc三線交于一點Q；

(2)若點P在3條邊BC，CA，AB上的投影分別為D，E，F，證明:點P為△DEF的重心的充要條件是Q為△ABC的重心.

分析在第(1)小題中，條件給出的是AP，BP，CP三線交于一點P，仍然沒有給出這3條直線與對邊的交點，但是給出的對稱的條件與角度有關.應該利用角元塞瓦定理將條件轉化為等式，結合角元塞瓦定理的逆定理，將要證明的la,lb,lc三線交于一點也轉化為證明一個等式，從而使條件與結論聯系起來.在第(2)小題中，多個側面的問題往往可以通過一個側面突破，從而全面解決問題.

需要說明的是，通過AP,BP,CP的延長線與對邊的交點也可以證明這個結論.實際上,很多結論都是等價的，證法也很多，這里只是通過條件和結論之間的關系來尋求一條解決問題的途徑.

證明(1)設∠PAB=α，∠PBC=β，∠PCA=γ,la,lb,lc分別與BC,CA,AB交于點L,M,N，則

∠LAC=α,∠MBA=β，∠NCB=γ.

因為PA，PB，PC三線交于一點，所以由角元塞瓦定理得

由角元塞瓦定理的逆定理，得la,lb,lc三線交于一點Q.

圖2

(2)如圖2,因為A,E,P,F四點共圓，所以∠PEF=α,∠PFE=∠A-α.設直線DP與EF交于點K，由B，D，P，F和C，D，P，E四點共圓，可得∠FPK=∠B,∠EPK=∠C.在△PFK和△PEK中,由正弦定理可得

在△ABL和△ACL中,由正弦定理可得

于是

FK=EK,

即

從而

BL=CL.

同理可得,直線EP平分DF的充要條件是CM=AM，直線FP平分DE的充要條件是AN=BN，即點P為△DEF的重心的充要條件是Q為△ABC的重心.

注直線AP,la稱為∠A的等角線，P,Q稱為△ABC的等角共軛點.

例3已知△ABC的內切圓⊙I分別與3條邊BC,CA,AB切于點A1,B1,C1，l為過點I的任意一條直線，A′,B′,C′分別是A1,B1,C1關于直線l的對稱點，證明:AA′,BB′,CC′三線交于一點[1].

(2009年保加利亞數學奧林匹克競賽試題)

分析對稱的條件中既有角相等，也有邊相等，由對稱軸過⊙I的圓心以及弧相等，結合切線的條件，可以得到一些非對稱的角度的相等.相似和全等是處理線段和角度關系常用的手段，但是如果在尋求解題途徑中無法找到相似和全等，那么常用的方法是運用正弦定理.在處理比例式時，利用面積有時也能起到同樣的作用.

圖3

因為

且

所以

BB′sin∠A1BB′，

即

AA′sin∠CAA′=BB′sin∠CBB′.

同理可得

BB′sin∠ABB′=CC′sin∠ACC′,

CC′sin∠BCC′=AA′sin∠BAA′.

將上面3個式子相乘，可得

sin∠CAA′sin∠ABB′sin∠BCC′=

sin∠CBB′sin∠ACC′sin∠BAA′，

即

由角元塞瓦定理的逆定理,可得AA′,BB′,CC′三線交于一點.

例4設Γ(I)是以△ABC的內心I為圓心的一個圓，由點I向邊BC,CA,AB引垂線，分別與Γ(I)交于點D，E，F，證明:AD，BE，CF三線交于一點[2].

分析與例3類似，可以采用類似的方法，也可以利用對稱得到的點到直線的距離相等來直接計算相關角的正弦.

證明設∠CAD=α1，∠BAD=α2,∠ABE=β1,∠CBE=β2，∠BCF=γ1,∠ACF=γ2,d(X,YZ)表示點X到直線YZ的距離.因為D,E關于∠BCA的角平分線CI對稱，所以

d(D,CA)=d(E,BC).

同理可得

d(E,AB)=d(F,CA)，d(F,BC)=d(D,AB).

所以

圖4

由角元塞瓦定理的逆定理,可得AD，BE，CF三線交于一點.

利用角元賽瓦定理的例子很多，這里只就幾個例子來說明利用我們掌握的知識，挖掘條件與結論之間的關系，以達到最終解決問題的目的.

[1] 2009保加利亞數學奧林匹克.國內外數學競賽題及精解[J],李炘譯.中等數學,2010(增刊):40-41.

[2] 2003年IMO中國國家集訓隊教練組.走向IMO數學奧林匹克試題集錦(2003)[M].上海：華東師范大學出版社，2003.