巧用圖形變換解題

●

(溫州市實驗中學 浙江溫州 325000)

巧用圖形變換解題

●周利明徐招峰

(溫州市實驗中學 浙江溫州 325000)

初中數學學習中涉及的圖形變換主要是軸對稱變換(也稱為翻折變換)、平移變換、旋轉變換這幾類，靈活運用這些變換可以幫助我們解決一些看似復雜的數學問題.

1 軸對稱變換

例1在凸四邊形ABCD中，∠ABDgt;∠CBD,∠ADBgt;∠CDB,求證：AB+ADgt;BC+CD.

分析要證明結論AB+ADgt;BC+CD，即證明折線BADgt;折線BCD.由于這2條折線是有公共端點的，因此可考慮翻折，作軸對稱變換，找到2條折線的包含關系即可得證．

證明如圖1,把△BCD沿BD所在的直線翻折到△BC′D.因為

∠ABDgt;∠CBD,∠ADBgt;∠CDB,

所以△BC′D落在△BCD內.延長BC′交AD于點E．由

AB+AEgt;BE,BE=BC′+C′E,

得

AB+AEgt;BC′+C′E.

(1)

而C′E+EDgt;C′D,

(2)

式(1)+式(2)得

AB+AE+EDgt;BC′+C′D.

又因為AE+ED=AD,BC′=BC,C′D=CD,

所以

AB+ADgt;BC+CD.

圖1 圖2

例2設P是⊙O的弦AB的中點，過點P作任意弦CD和EF,連結CE,DF分別交AB于點M和N.求證：P是線段MN的中點(即著名的“蝴蝶定理”)．

分析利用全等三角形來證明PM=PN，是最直接、最熟悉的手段，把PM,PN各作為三角形的一條邊，從而尋找或構造全等三角形．為此,把CD沿PO所在的直線翻折到C′D′,只需證明△CPM≌△C′PN即可．

證明如圖2,把CD沿PO所在的直線翻折到C′D′．由PO過圓心，且P是⊙O的弦AB的中點，可得點C′,D′在圓周上，連結CC′,DD′,C′N，則C′,D′,D,F四點共圓，因此

AB⊥PO,DD′⊥PO,

于是

AB∥DD′,

即

PN∥DD′，

從而C′,P,N,F四點共圓，得

∠PC′N=∠PFN=∠MCP.

因為

∠CPM=∠C′PN,CP=C′P,

所以

△CPM≌△C′PN,

于是

PM=PN，

即點P是線段MN的中點．

2 平移變換

例3如圖3,點O是ABCD內的一點，∠AOB+∠COD=180°,求證：∠OBC=∠ODC．

分析由條件∠AOB+∠COD=180°,很容易聯想到:如果這2個角是四邊形的對角的話，那么該四邊形的頂點共圓，則容易得到角度之間的相等關系．因此考慮將△COD沿與CB平行的方向進行平移，使得DC與AB重合，得△APB,APOD,PBCO,則A,P,B,O四點共圓，從而問題得證.

證明將△COD沿與CB平行的方向進行平移，使DC與AB重合，得△APB.由平移性質可得四邊形APOD和四邊形PBCO都是平行四邊形,因此

∠ODC=∠PAB,∠APB=∠COD，

于是

∠APB+∠AOB=180°,

因而A，P，B，O四點共圓，得

∠PAB=∠POB=∠OBC,

即

∠OBC=ODC.

圖3 圖4

例4如圖4,已知梯形ABCD，AD∥BC，∠A,∠B的平分線交于點M，∠C,∠D的平分線交于點N，求證：2MN=|AB+CD-BC-AD|．

分析當M，N重合時，M為梯形4個內角平分線的公共交點，因此

AB+CD=BC+AD，

而此時MN=0，故結論成立．

當點M，N不重合時，由于MN∥BC∥AD，因此可以考慮利用平移化一般為特殊．

證明(1)當點M，N重合時，M為梯形4個內角平分線的公共交點，因此點M到梯形ABCD的4條邊的距離都相等，于是M就是該四邊形內切圓的圓心，得

AB+CD=BC+AD，

從而

|AB+CD-BC-AD|=0.

而MN=0,得

2MN=|AB+CD-BC-AD|.

(2)當點M，N不重合時，由點M，N分別到BC，AD的距離相等，可得

BC∥MN∥AD，

因此將△CND沿平行于DA的方向進行平移，使得M,N重合，得△C′MD′．對于梯形AD′C′B，由第(1)小題的結論可知

|AB+C′D′-BC′-AD′|=0．

在平移過程中，由CC′=DD′=MN,C′D′=CD,可得

|AB+CD-(BC±MN)-(AD±MN)|=0.

當梯形AD′C′B包含梯形ABCD時取“+”;當梯形ABCD包含梯形AD′C′B時取“-”,于是

|AB+CD-BC-AD±2MN|=0,

即

2MN=|AB+CD-BC-AD|.

3 旋轉變換

例5如圖5,已知P是正方形ABCD內一點，且滿足：PA=a,PB=2a,PC=3a.試求：∠APB的大小．

分析欲求∠APB的大小，題目已知條件中只有數量關系，因此想到要構造特殊的三角形.而已知的PA,PB,PC又不在同一個三角形內，所以聯想到用旋轉變換將它們放在同一個三角形內，這樣問題即可獲解．

解把△APB繞點B沿順時針方向旋轉90°，得△BP′C.連結PP′,則

∠PBP′=90°,BP′=BP,CP′=AP,

因此

∠BPP′=∠BP′P=45°.

又

且

PC=3a,PA=P′C=a,

得

PC2=P′P2+P′C2,

因此

∠PP′C=90°，

于是 ∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=

45°+90°=135°.

圖5 圖6

例6如圖6,已知△ABC中，∠A≥120°,P為△ABC內一點，求證：PA+PB+PCgt;AB+AC.

分析要得到PA+PB+PCgt;AB+AC，考慮若移動AB使其在CA的延長線上，移動PA,PB,PC,使得問題轉化為線段兩端點間的折線問題即可解決．

證明把△PAB繞點A沿順時針方向旋轉180°-∠A，得△P′AB′，則點B′,A,C在同一直線上，且

AB′=AB,B′P′=PB,AP′=AP.

(1)當∠A=120°時，∠P′AP=∠B′AB=60°,△APP′為正三角形，因此

PA=PP′,

且B′P′+PP′+PCgt;B′C=B′A+AC=AB+AC,

即

PA+PB+PCgt;AB+AC.

(2)當∠Agt;120°時，∠P′AP=∠B′ABlt;60°,

∠AP′P=∠APP′=(180°-∠PAP′)÷2gt;60°,

因此

∠AP′Pgt;∠P′AP,PAgt;P′P.

而B′P′+PA+PCgt;B′P′+P′P+PCgt;

B′C=AB′+AC,

B′P′=PB,B′A=AB,

于是

PA+PB+PCgt;AB+AC.

綜上所述,當∠A≥120°時，均有

PA+PB+PCgt;AB+AC.

思考題：已知銳角△ABC中，P為△ABC內一點，PA+PB+PCgt;AB+AC是否仍然成立？為什么？