六類類比在數學解題中的應用

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(楊賢江中學 浙江慈溪 315300)

六類類比在數學解題中的應用

●胡徐波張示達

(楊賢江中學 浙江慈溪 315300)

著名數學家波利亞曾指出：“類比是某種類型的相似性，是一種更確定的和更概念性的相似”.類比是從已經解決的問題和已經獲得的知識出發，提出新問題和作出新發現的一個重要源泉，是一種較高層次的信息遷移，它是由特殊到特殊的推理．

類比推理的前提是2類對象之間具有某些可以清楚定義的類似特征、明確的類比關系，因此運用類比的關鍵是確定類比對象.而確定類比對象的基本原則是根據當前問題的需要，選擇適當的類比對象．不能讓類比僅僅停留在敘述方法或結構形式等外層表象上，還需要對數學結論的運算變形、思想方法、思維策略、推理過程等尋求內在關聯，開展多角度、全方位的類比探析活動．由于類比推理的邏輯根據是不充分的，帶有或然性，具有猜測性，不能作為一種嚴格的數學方法，因此還須經過嚴格的邏輯論證，才能確認其猜測結論的正確性．本文由問題出發，從定義生成類比、屬性關系類比、降維減元類比、結構形式類比、思想方法類比、無限有限類比等6個不同角度，針對如何進行類比推理，作些分類探究解析的有益嘗試，培養學生運用類比進行合情推理的能力．

1定義生成類比

問題1若定義集合A與B的運算：A?B={x|x∈A或x∈B,且x?A∩B},試寫出(A?B)?A成立的等式．

圖1

探究這是一道抽象的集合問題，利用已有的集合知識，借助韋恩圖，通過類比問題進行探索，可發現一些含有新定義集合運算關系的等式．若記A?B=C，如圖1中陰影部分所示，則類比得

C?A={x|x∈C或x∈A,且x?C∩A}=B,

因此

(A?B)?A=B．

問題2試指出三角形在空間的類比.

探究(1)由數目最少的簡單分界元素所圍成的幾何圖形來說:在平面上，2條直線不能圍成一個有限的封閉圖形，然而3條直線可以圍成一個三角形；在空間里,3個平面不能圍成一個有限的封閉幾何體，然而4個平面可以圍成一個四面體．因此，四面體可以看成三角形在空間中的類比．例如,由三角形的3條內角平分線相交于一點是三角形內切圓的圓心，即生成內心.可類比猜測：四面體的6個內二面角的平分面也相交于一點，而且這就是四面體內切球的球心，不妨也稱之為生成內心(如圖2).

圖2

(2)從直接生成的角度考慮:棱錐可以看成三角形在空間的類比，如果三角形可以看成將線段(所在直線)外的一點與線段上的各點用線段相連所生成的平面圖形，那么棱錐就可以看成將多邊形(所在平面)外的一點與多邊形上各點用線段相連所生成的空間圖形(如圖3)．

圖3

2屬性關系類比

其中c2-a2=b2,于是

圖4 圖5

由于橢圓與雙曲線有很多類似的屬性關系，因此可類比雙曲線的這一結論以及獲得的這個定值的特殊方法，尋找其中變與不變的規律．同理，對于橢圓也可得

設此直線方程為y=k(x-c)(斜率k存在)，則點P(0,-kc)．設點M(x1,y1),N(x2,y2)，得

解得

同理可得

于是

(1)

(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

當Δgt;0時，由韋達定理得

代入式(1)得

結論得證．

3降維減元類比

問題4如圖6,在四面體ABCD內部有一點O，使得AO，BO，CO，DO與四面體的4個面BCD，CDA，DAB，ABC分別交于點A1,B1,C1,D1，且滿足

試求k的可能取值．

圖6 圖7

于是 3S△ABC=(k+1)(S△OBC+S△OCA+S△OAB),

解得

3=k+1，

故

k=2．

根據上述利用面積關系求解思路推理的啟發，在空間四面體中，可轉化為利用體積關系進行類比推理．在四面體中，因為同底四面體的體積比為對應的高之比，等于相似比，所以

于是

4VABCD=(k+1)(VOBCD+VOCDA+VCDAB+VOABC)，

得

4=k+1，

故

k=3．

4結構形式類比

問題5任給7個實數xk(k=1,2,3,…,7),能否求證其中有2個實數xi，xj,滿足不等式

5思想方法類比

證明構造函數f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2．因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，即

對一切x∈R恒成立,所以

從而

現若a1,a2,…,an∈R，a1+a2+…+an=1，請寫出上述結論的推廣，并加以證明．

探究由于函數與不等式有著深刻的內在聯系，因此研究不等式通常需用函數的性質作為工具．已知這個不等式的證法是構造函數，利用二次函數的性質并結合判別式，實現函數與不等式的轉化思想.現在只是從二元(a1,a2)推廣到n元(a1,a2,…,an)的情形，因此結論的推廣和證明完全可以類比上述構造二次函數，與不等式轉化的思想方法獲得解決．

證明構造函數

f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=

因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以

從而

6無限有限類比

探究在不能運用極限方法求無限和時，可以通過無限和與有限和進行類比，尋找求解思路.設2n次代數方程

a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=0

(2)

有2n個不同的根c1,-c1,c2,-c2,…,cn,-cn，則

(3)

已知函數sinx的展開式

且方程sinx=0有無窮多個根為0,±π,±2π,±3π，…，它們也是無窮次方程

的根，則方程

(4)

所以

由于這一結論建立在無限與有限類比之上，因此它只是一個大膽的猜想，為了驗證這一猜想的可靠性，可以運用復數的棣莫佛定理給予嚴格證明(限于篇幅，證明從略)．

總之，形神兼備的類比，其基本模式是：若對象A具有屬性a，b，c，d，且對象B具有屬性a，b，c，猜想：對象B具有屬性d.類比推理的過程是從特殊到特殊、由此及彼的,具有猜測和發現創造結論、探究和提供思路、指引方向的巨大作用.教師引導學生自主類比，防止以表掩質的“亂比”，應突顯學生的主體地位，讓學生在直覺感知的基礎上，自覺地形成探究問題的意識，充分鍛煉發散性思維和發現創造性思維的能力，開拓新領域，逐步完善和構建合理有效的數學認知結構，真切地感悟形同神似的神奇類比．

[1] 波利亞.數學與猜想[M].北京:科學出版社，1984．

[2] 鄭毓信.數學方法論[M].南寧:廣西教育出版社，1996．