三角形等角線的一個新性質及應用

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(開化縣第二中學 浙江開化 324300)

三角形等角線的一個新性質及應用

●曹嘉興

(開化縣第二中學 浙江開化 324300)

如圖1，自△ABC的頂點A引2條射線AX，AY，分別交對邊BC于點X，Y，并使AX，AY關于∠BAC的平分線AD對稱，那么線段AX，AY就叫做△ABC的等角線(因為AX，AY與∠BAC的2邊分別構成相等的角，故有這個名稱).文獻[1]給出了三角形等角線的一些基本性質，本文將給出三角形等角線的一個新的基本性質.

定理1自△ABC的頂點A引2條等角線AD，AE，分別交對邊BC于點D，E,則

圖1 圖2

證明如圖2，作△ABC的外接圓，設AD，AE的延長線與△ABC的外接圓分別交于點F，G，連結BF，CG.由∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠AGC得

△ABD∽△AGC,

(1)

又由∠BAD=∠CAE,∠ACB=∠AFB得

△ACE∽△AFB,

(2)

式(1)×式(2),并利用BF=CG得

(3)

又由△ABD∽△AGC得

于是AB·AC=AD·AG=AD(AE+EG)=

AD·AE+AD·EG.

(4)

由相交弦定理得

AE·EG=BE·CE，

(5)

又由式(3)，式(4)，式(5)得

AB·AC=AD·AE+AD·EG=

同理可證,定理1的第2式也成立.

該定理的2個結論結構對稱,形式優美，易于記憶，利用它來解決某些平面幾何問題甚為方便、簡捷，請看以下幾例．

圖3

例1自△ABC的頂點A作射線AX，AY分別交對邊BC于點X，Y，使∠BAX=∠CAY,求證:

(1986年上海市初中數學競賽試題)

證明如圖3，由本文定理1的2個結論得

因此

即

例2自△ABC的頂點A引2條等角線AD，AE,交對邊BC分別于點D，E，則

BD·BE·CD·CE=(AB·AC-AD·AE)2.

證明由定理1的2個結論得

(6)

(7)

式(6)×式(7)得

BD·BE·CD·CE=(AB·AC-AD·AE)2.

注上面的2個例題分別是文獻[1]給出的三角形等角線的2個基本性質,利用定理1的2個結論可以輕松地證明這2個基本性質.

例3在△ABC中,M為BC邊上的任一點,ME⊥AB于點E,MF⊥AC于點F,AN⊥EF交BC于點N,求證:

圖4

證明如圖4,因為ME⊥AB,MF⊥AC,所以A，E，M，F四點共圓,因此

∠MEF=∠CAM.

又因為AN⊥EF,所以∠BAN與∠AEF互余.又∠MEF與∠AEF互余,從而∠BAN=∠MEF,于是∠BAN=∠CAM,因此AM，AN是△ABC的2條等角線.

由定理1的2個結論得

(8)

(9)

式(8)×式(9)得

(AB·AC-AM·AN)2=BM·BN·CM·CN,

例4在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,則

AD2=AB·AC-BD·DC.

圖5

證明當圖2中的2條等角線AD，AE互相重合時便得到AD平分∠BAC(如圖5),此時由本文定理1中的第1個結論可得

又由角平分線的性質定理得

把式(11)代入式(10)得

即

AD2=AB·AC-BD·DC.

注由此可見著名的Schooten定理(F.Van.Schooten,約1615-1660年,荷蘭數學家)是本文定理的特例,因此定理1也可以看作是Schooten定理的一種推廣.

[1] 李耀文.三角形等角線的性質初探[J].中學教研(數學),2001(7):23-27.

[2] 沈康身.歷史數學名題賞析[M].上海：上海教育出版社，2010:466.