反思好題 其樂無窮
——再談2010年浙江省數學高考壓軸題

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(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

反思好題其樂無窮
——再談2010年浙江省數學高考壓軸題

●蘇衛軍虞金龍

(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

從2009年開始，浙江省進入了新課程實施以來的新高考,新高考無論在考查內容還是形式上較以前的高考均有不同.在以往浙江省的高考試卷中均是以數列作為壓軸題的,但2009年改為以函數、導數作為壓軸題,2010年又繼續延續了這個模式.雖然題目涉及了數列的基本知識和性質,但并非作為難點來考查.2010年浙江省數學高考試題在遵循考試說明的基礎上，全面考查了基礎知識、基本技能、基本思想方法，深入考查了學生對數學內涵和本質的理解與把握，多角度、多層次地考查了學生的數學思維和數學素養，體現了考基礎、考素質、考潛能的三維目標追求.尤其是最后一道壓軸題對運算和推理能力的要求都較高,可以考查學生進入高校繼續學習的潛能,體現了高校選拔人才的需要.本文分析這道壓軸題的解法，并對試題及解法作出一些評析,指出學生在答題中的主要錯誤,并對題目進行再反思，從而使它的價值和功能得以更充分的體現.

1題目與解法

例1已知a是給定的實常數，設函數f(x)=(x-a)2(x+b)ex，b∈R，x=a是f(x)的一個極大值點．

(1)求b的取值范圍.

(2)設x1,x2,x3是f(x)的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x4∈R，使得x1,x2,x3,x4的某種排列xi1,xi2,xi3,xi4(其中{i1,i2,i3,i4}={1,2,3,4})依次成等差數列?若存在，求出所有的b及相應的x4；若不存在，請說明理由．

(2010年浙江省數學高考理科試題)

1.1 基本解法

解法1(1)由題意可得

f′(x)=ex(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a].

令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a，則

Δ=(a+b-1)2+8gt;0.

不妨設x1,x2是g(x)=0的2個實根，且x1lt;x2.

①當x1=a或x2=a時，x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意;

②當x1≠a且x2≠a時，由于x=a是f(x)的極大值點，因此x1lt;alt;x2，得g(a)lt;0，即

a2+(3-a+b)a+2b-ab-alt;0，

故

blt;-a.

(2)由第(1)小題可知，假設存在b及x4滿足題意，則

①當x2-a=a-x1時，

x4=2x2-a或x4=2x1-a，

于是

2a=x1+x2=a-b-3,

此時x4=2x2-a=

或x4=2x1-a=

②當x2-a≠a-x1時，

x2-a=2(a-x1)或a-x1=2(x2-a).

1°若x2-a=2(a-x1)，則

于是

即

于是

2°若a-x1=2(x2-a)，則

于是

即

于是

解法2(1)由于函數f(x)在x=a處取得極大值，因此存在δ，使得對任意的x0∈(a-δ,a+δ)均有f(x0)≤f(a).又因為f(a)=0，所以f(x0)≤0，注意到(x0-a)2≥0，ex0gt;0，則x0+b≤0.當x0=a時,a+b≤0，即b≤-a.而當b=-a時，函數顯然沒有極值，故blt;-a.

(2)由第(1)小題可知，假設存在b及x4滿足題意，則

①當該等差數列為:x1,a,x2,x4或x4,x1,a,x2時，

x4=a+x2-x1或x4=a+x1-x2.

又

2a=x1+x2=a-b-3,

即

b=-a-3,

此時

或

②當該等差數列為x1,a,x4,x2或x1,x4,a,x2時,

1°若該數列為x1,a,x4,x2，則

x4=x1+x2-a.

又

x2-a=2(a-x1),

即 3a=2x1+x2=

即

于是

2°若該數列為x1,x4,a,x2，則

x4=x1+x2-a.

又

a-x1=2(x2-a)，

即 3a=2x2+x1=

得

于是

1．2 解題評析

(1)第(1)小題中解法1的實質是涉及導函數中2個函數圖像之間的對應關系,即三次函數

h(x)=(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a]

的圖像(如圖1)與二次函數

g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a

的圖像(如圖2)之間的對應關系.

圖1 圖2

(2)第(1)小題中解法2從極大值的定義出發，深挖概念的內涵、外延，從而抓住了這類問題的本質，使得解題過程變得簡潔、明了.

(3)第(2)小題在第(1)小題的基礎上繼續深入，其實質是在已知3個數的情況下引入第4個數,使得這4個數成等差數列，因此應分為兩大類來討論:一類是第4個數在這3個數之外構成等差數列;另一類是第4個數插入這3個數中間構成等差數列(通過數軸來看很直觀).

(4)第(2)小題中的解法1在求x4時把4個數成等差數列轉化為3個數成等差數列，再利用等差中項的性質來求解.第(2)小題中的解法2在求x4時利用了等差數列的基本性質，這樣在式子中就出現了x1+x2,x1-x2的結構，再利用韋達定理，從而使式子的化簡變得更簡潔.

(5)從筆者參加高考閱卷的情況來看，學生中出現的主要問題有：

①函數求導時出錯，對乘法的導數公式應用不熟練.錯誤的形式主要有：

f′(x)=2(x-a)(x+b)ex,

或

f′(x)=(x-a)2ex,

或

f′(x)=[2(x-a)(x+b)+(x-a)2]ex.

②受平時接觸題目的影響，形成了思維定勢.平時對于極值的處理幾乎都是利用f′(a)=0得出一個關于字母參數a,b的關系式,再作討論求解.可本題中當把x=a代入f′(x)時得到了恒等式f′(a)=0，并非a,b的關系式，這樣學生的思維就陷入了停頓.

③不能把條件“x=a為極大值點”轉化為條件“當xlt;a時,f′(x)gt;0;當xgt;a時,f′(x)lt;0”，從而進一步轉化為利用三次函數圖像來直觀地作出判斷.

④對于第(2)小題,部分學生有思路，分類標準也清楚，但由于涉及的式子結構復雜、運算量大，從而導致不能準確得出結果.

2背景揭示

2.1 題目涉及的主要知識

本題涉及函數極值的概念、導數的運算、等差數列的性質等基礎知識，突出考查了函數與方程、分類討論、等價轉化以及數形結合等數學思想方法，同時也考查了邏輯思維能力及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力.此題屬于難題，比2009年的壓軸題難度更大.

2.2 題目的相似背景

(2)2009年浙江省數學會考試題最后一題:已知函數f(x)=(x2+ax+a)·ex(a∈R),求f(x)的單調區間與極值(變一變:若函數在x=-a處取得極大值,求a的取值范圍).

3對題目的再研究

此題是一道好題，它既能考查學生對求導公式掌握的熟練程度，又能考查學生對極值點概念的準確理解情況，還能考查學生的代數運算能力及數學思維層次和綜合數學素養.

但是，筆者認為這道題的功能似乎并沒有完全發揮.因為此題的2個小題均涉及導函數的圖像和性質，對于原函數似乎并沒有作深入研究,這是很大的遺憾.下面我們繼續研究，這個函數圖像究竟是怎樣的？結合原函數的圖像，還可以設置其他哪些問題?

3.1 原函數的圖像

要作一個函數的圖像需對其零點、極值點及單調性等進行研究(當然，在大學階段還需確定其拐點，但在高中階段對此并不作要求,只要能作出草圖即可).

(1)函數的零點：x=a及x=-b，其中x=a為二重零點.

(2)函數的極值點：x1,a,x2，其中x1lt;alt;x2，x1,x2為極小值點，a為極大值點.

(3)單調性：f(x)在(-∞,x1),(a,x2)上單調遞減，在(x1,a),(x2,+∞)上單調遞增.

(4)考慮極端位置：當x→+∞時，

f(x)=(x-a)2(x+b)ex→+∞;

當x→-∞時，

因為f(x)lt;0,所以當x→-∞時，f(x)以x軸為漸近線.

綜上可得,原函數的草圖如圖3所示.

圖3

3.2 對題目再設問

有了原函數的圖像，就能做到心中有底.接下來繼續編制新問題：

(3)在第(2)小題的條件下討論方程f(x)=k(k∈R)解的個數.

解以下對第(2)小題中的情況之一進行解答，其他同理可得.

在第(2)小題中,當b=-a-3時,

從而

f(x2)=(x2-a)2(x2+b)ex2=

又

且

f(x1)lt;0,f(x2)lt;0,

于是

f(x2)lt;f(x1).

結合函數圖像可得結論如下:

(4)在第(2)小題的條件下,過原點作函數的切線,若除x軸本身外這樣的切線有且只有1條,試寫出滿足此條件的一個a的值,并說明理由.

解設過原點(0，0)所作切線的切點為(x,f(x)),由題意可知x≠a，則

k=f′(x)=

(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a]ex.

由第(2)小題知b=-a-3,因此

k=(x-a)(x2-2ax+a2-6)ex.

又

于是

(x-a)(x2-2ax+a2-6)ex=

即x·(x2-2ax+a2-6)=(x-a)(x-a-3).

令x-a=t并整理得

t3+(a-1)·t2-3t-6a=0(t≠0)

有唯一解.令F(t)=t3+(a-1)·t2-3t-6a,則

F′(t)=3t2+2(a-1)·t-3.

不妨設t1,t2分別是F′(t)=3t2+2(a-1)·t-3=0的2個根,則

由題意得F(t1)lt;0或F(t2)gt;0,這樣的a顯然存在,如a=1.

事實上,結合原函數的圖像可知:只要當-bgt;0,即agt;-3時,均滿足題意，即這樣的切線有且只有一條.

綜上所述，2010年浙江省的這道高考(理科)壓軸題是非常有研究價值的，又如把題干中的條件“x=a是f(x)的一個極大值點”改變為“x=a是f(x)的一個極小值點”，那么又會出現很多可研究的新問題，有興趣的讀者不妨一試.