Regular范疇研究

任 芳

(福建船政交通職業技術學院基礎部，福建 福州 350007)

Regular范疇研究

任 芳

(福建船政交通職業技術學院基礎部，福建 福州 350007)

首先證明了Abel范疇是Regular范疇，然后證明了Regular范疇關于任意小范疇的函子范疇仍是Regular范疇。

Abel范疇； Regular范疇；Regular滿態射；函子范疇

Abel范疇是一類性質較好的范疇，從范疇論產生至今，一直是諸多數學工作者致力研究的對象。H.Bass給出了Abel范疇等價于模范疇等的充要刻畫[1]，N.Popescu則從一般環模理論的研究提升至Abel范疇，并給出豐富的應用[2]。粗略地說，Regular范疇是去掉加性而具有類Abel范疇正合結構的一類范疇，文獻[3-5]對Regular范疇進行細致地研究與刻畫。

擴張的研究歷來是代數學研究的熱點問題。函子范疇是范疇的一種擴張形式，諸多范疇經過函子范疇形式擴張之后具有原來不具備的良好性質。 P.Freyd、B.Mitchell等對預加范疇關于Abel群范疇的函子范疇的擴張進行細致而深入地研究，并給出該函子范疇的結構刻畫與諸多同調性質[6-8]。 A.Neeman進一步將函子范疇的研究推向三角范疇層面，發展出以函子和函子范疇擴張方式研究三角范疇的研究方法[9]。下面，筆者基于擴張的思想，結合性質保持問題對Regular范疇展開研究。

1 相關概念及性質

定義1設A為一范疇，若一滿態射為一對態射的差余核，則稱該態射為Regular滿態射。在Regular范疇中，以如下記號表示Regular滿態射：

①一般地，拉回保持單態射，然而推出卻不保持滿態射；②核對中的態射α,β均為滿態射；③容易證明如下命題等價：(i)態f為單態射；(ii)態射f的核對存在，且為(A,1A,1A)；(iii)態射f的核對存在，且有α=β。

定義3一個范疇稱為Regular范疇當且僅當其滿足以下條件：①每一個態射有核對；②每一個核對有差余核；③每一個Regular滿態射關于任意態射的拉回仍是Regular滿態射。

2 Regular范疇與Abel范疇

引理1差余核是其核對的差余核，核對的差余核是該差余核的核對。

證明只證明第1個命題，第2個命題類似可證。設態射f:A→B為態射對α,β:X→A的差余核，

考察如下交換圖：

由核對的泛性知，存在唯一的態射z:X→P使得如上交換圖可交換。

定理1Abel范疇是Regular范疇。

證明記A為一Abel范疇，任取一態射f，考慮如下態射的交換圖：

最后證明拉回保持Regular滿態射。考察下述拉回圖：

再據推出的等價定義知

為推出圖。由Abel范疇的推出的性質，有Cokerf=Cokerf′(同構)。故f′亦為滿態射。

因為態射f′具有核對，據引理1，有f′為Regular滿態射。此即說明Regular滿態射在拉回意義下是穩定的。

3 Regular范疇的函子范疇

定理2Regular范疇的函子范疇仍是Regular范疇。

證明記A為一Regular范疇，C為一小范疇。考察函子范疇Fun(C,A)，任取一自然變換σ:F→G，對于任意的態射f:A→B，考察如下交換圖：

由于A為Regular范疇，故對于每一個對象A∈A，σA:F(A)→G(A)有核對。

定義P:C→A，其中P(A)為σA:F(A)→G(A)對應的核對對象；對任意態射f:A→B，由于σBF(f)αA=G(f)σAβA=σBF(f)βA,據核對的定義知存在唯一的態射P(f)，使得上述態射圖可交換。容易驗證α={αA}A∈A,β={βA}A∈A為自然變換。故每一個自然變換具有核對。

不難類似證明每一個自然變換的核對具有差余核。最后證明拉回保持Regular滿自然變換。為此，考慮Regular滿自然變換σ:F→G與任意自然變換構成的拉回：

由于σ:F→G為Regular滿自然變換，其是某一自然變換的差余核，據引理1知，σ:F→G為其核對υ,ω:K→F的差余核。由于范疇A為Regular范疇，故對于每一個對象A∈A，態射βA：P(A)→H(A)。為某一態射對的差余核。再據引理1知，βA：P(A)→H(A)為其核對φ，φ：E(A)→P(A)的差余核。由于βBP(f)φA=H(f)βAφA=βBP(f)φA，故存在唯一的態射E(f)使得φBE(f)=P(f)φA，φBE(f)=P(f)φA。于是可以定義一個函子E:C→A，與自然變換φ={φA}A∈A，φ={φA}A∈A使得自然變換β:P→H。 為Regular滿自然變換，至此定理2證畢。

[1]Bass H.Algebraic K-Theory[M].New York：Benjamin，1998.

[2]Popescu N.Abelian Categories with Applilcations to Rings and Modules[M].London & New York: Academic Press, 1973.

[3]Carboni A, Vitale E M.Regular and exact completions[J].J Pure Appl Alg, 1998，125:79-116.

[4]Lack S.A note on the exact completion of a Regular category and its infinitary generlizations[J].Theory and Applications of Categories, 1999, 5(3):70-80.

[5] Meisen J.Pullbacks in regualr categories[J].Canad Math Bull, 1973, 16(2): 251-255.

[6]Freyd P.Abelian Categories[M].New York: Harper and Row, 1964.

[7]Freyd P.Functor Categories and Their Application to Relative Homology[M].New York: Columbia University, 1962.

[8]Mitchell B.Rings with several objects[J].Adv Math, 1972, 8:1-161.

[9]Neeman A.Triangulated Categories.Annals of Mathematics Studies[M].Princeton:Princeton University Press, 2001.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.007

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A

1673-1409(2011)12-0016-03