形式函數的可微性與共軛解析性

吳 曉，徐士河

(肇慶學院數學與信息科學學院，廣東 肇慶 526061)

形式函數的可微性與共軛解析性

吳 曉，徐士河

(肇慶學院數學與信息科學學院，廣東 肇慶 526061)

從復變函數的復形式出發，研究其可微和解析的充要條件，進而得出其共軛可微和共軛解析的條件，并給出了判定形式函數的可微性和解析性的應用。

形式函數；形式可微；解析； C-R條件

復變函數可微的條件是一個重要研究內容。現行教材中已對復變函數的可微性進行了討論,如文獻[1-2]研究了直角坐標系下的C-R方程，得到了函數可微的條件。復變函數共軛解析的前提是函數共軛可微，因而研究復變函數共軛可微的充要條件就尤為重要。下面，筆者定義了形式函數的形式導數與形式微分，根據復變函數可微的方法去研究了復變函數共軛可微的性質，從而得出形式函數的可微和解析條件。

1 預備知識

(1)

(2)

從而有:

定義3若滿足：

2 形式函數的解析性

證明:

(3)

則代入式(3)得:

證明由于：

由解析函數的定義和定理3，可得到刻畫形式函數在區域D內解析的定理4。

3 形式函數的共軛解析性

這時稱函數w=f(z)于點z共軛可導或可微。

引理2[4]設函數w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內有定義，則函數f(z)在點z=x+iy∈D共軛可微的充要條件是:

(1)二元函數u(x,y)、v(x,y)在點(x,y)可微；

(2)u(x,y)、v(x,y)在點(x,y)滿足共軛解析條件：

于是由引理2知，類似定理2容易得出以下結論。

由于二元函數的可微性可以通過偏導數連續判斷出來，因而可得到下述推論。

[1]鐘玉泉.復變函數論[M].第3版.北京：高等教育出版社，1978:52-71.

[2]杜應雪,許小艷.復變函數的可導性與解析性[J].中國科技信息，2006(13):272-287.

[3]譚小江，伍勝鍵.復變函數簡明教程[M].北京：北京大學出版社，2006:21-22.

[4]王見定.半解析函數共軛解析函數[M].北京：北京工業大學出版社，1988.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.004

O174.5

A

1673-1409(2011)12-0009-03