導函數極限和連續的特殊性及其應用

王小強

(遼寧鐵道職業技術學院基礎部,遼寧 錦州 121000)

導函數極限和連續的特殊性及其應用

王小強

(遼寧鐵道職業技術學院基礎部,遼寧 錦州 121000)

導函數的極限和導函數的連續性，有著一般函數所不具備的特點。應用這些特點去研究和計算導數問題比用普通方法有著許多便利之處。對導函數的極限和導函數的連續性特點和應用給予了闡述和證明。

導函數；極限；連續

定理1還能說明：在滿足函數f(x)在鄰域U(x0,δ)內連續，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內分別可導的條件下，導函數f′(x)在點x0處只要存在極限，則導函數f′(x)在該點處必然連續；反之，如果導函數f′(x)在一點連續，那么導函數f′(x)在該點處也必然存在極限。

推論1函數f(x)在鄰域U(x0,δ)內連續，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內分別可導，且f′(x)在點x0處極限存在是f′(x)在該點處連續的充要條件。

推論2函數f(x)在鄰域U(x0,δ)內連續，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內分別可導的條件下，導函數f′(x)只能存在跳躍型間斷點和第二類間斷點。

以上各個命題和推論中的結論在一般的函數上肯定是不成立的。因此這些都是導函數的特點。而且通過以上2個例子可以看到利用這些特點來研究和計算導數問題的便利之處。

定理2設函數f(x)在鄰域U(x0,δ)內連續，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內分別可導，且點x=x0是導函數f′(x)的跳躍型間斷點，則f(x)在點x=x0處必不可導。

例4是在導函數f′(x)間斷點x=x0處f′(x0)存在的典型例子。在函數f(x)在鄰域U(x0,δ)內連續，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內分別可導的條件下下，只有在f′(x) 的第二類間斷點處才可能出現這種情況。

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]王學理，孔慶海.高等數學全析全解[M].沈陽：東北大學出版社，2011.

[3]李正元.高等數學輔導[M].北京：國家行政學院出版社，2008.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.005

O175.1

A

1673-1409(2011)12-0012-02