具變指標反應項的拋物和雙曲方程的爆破性質(zhì)

唐樹喬

(東南大學數(shù)學系，江蘇 南京 211100; 亳州師范高等專科學校理化系，安徽 亳州 236800)

具變指標反應項的拋物和雙曲方程的爆破性質(zhì)

唐樹喬

(東南大學數(shù)學系，江蘇 南京 211100; 亳州師范高等專科學校理化系，安徽 亳州 236800)

研究了帶有變指標反應項的非線性拋物和雙曲方程正解的爆破性質(zhì)，證明了存在初值使得相應解在有限時刻爆破。

爆破；變指標；非線性拋物方程；非線性雙曲方程

對非線性拋物方程:

(1)

有學者對方程(1)解的爆破問題進行了大量深入的研究，如爆破準則、爆破的速率和剖面、最大存在時間、爆破后的連續(xù)性等[1-2]。拋物問題(1)出現(xiàn)在應用數(shù)學的好幾個分支中，并且已經(jīng)應用到化學反應模型、熱傳學和群體力學。

考慮下列既帶有變指標反應項又帶有固定指標反應項的非線性拋物方程：

(2)

其中，Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；k>1；q>1；p(x)和u0(x)是非負連續(xù)有界函數(shù)且u0(x)不恒等于0。近年來，帶有變指標反應項的非線性拋物方程得到了人們的廣泛關注[3-6]。對于k=-1時方程(2)的情形，劉云霞[7]也給出了解在有限時刻爆破和整體存在的條件。令：

筆者研究了帶有變指標反應項的非線性拋物和雙曲方程正解的爆破性質(zhì)，證明了存在初值使得相應解在有限時刻爆破。

1 非線性拋物方程

1.1有限時刻爆破

引理1設η(t)為連續(xù)可導函數(shù)且滿足不等式：

η′(t)≥-aη(t)+bηq(t)-c

其中，常數(shù)q>1,a,b,c>0。若η(0)>0,-aη(0)+bηq(0)-c>0，則η(t)爆破。

定理1設Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，u(x,t)是方程(2)的正解，p(x)和u0(x)是非負連續(xù)有界函數(shù)，那么當p->q>1時，對于充分大的初值u0(x)，存在有限時間T>0使得:

(3)

對于每一個t>0，把Ω分成2個集合：

Ω1={x∈Ω:u(x,t)<1}Ω2={x∈Ω:u(x,t)≥1}

于是：

根據(jù)Ω2的定義，可以得到：

(4)

其中c2>0。令：

聯(lián)合不等式(3)和(4)可得：

η′(t)≥-λ1η(t)+εηq(t)-c2

于是，由引理1可以知道，方程(2)的正解u(x,t)在有限時刻爆破。

1.2整體存在性

定理2設Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，p(x)是非負連續(xù)有界函數(shù)，那么當p(x)≤1時，方程(2)的正解u(x,t)對任意初值整體存在。

證明當p(x)≤1時，構造函數(shù)v(x,t)=(‖u0‖∞+1)et。則：

vt(x,t)=(‖u0‖∞+1)et≥(‖u0‖∞+1)p(x)etp(x)≥Δv+vp(x)-kuq

且：

v(x,0)=‖u0‖∞+1≥u0v(x,t)=(‖u0‖∞+1)et≥0x∈?Ω

從而v(x,t)為方程(2)的上解，所以方程(2)的正解u(x,t)對任意初值整體存在。

2 非線性雙曲方程

下面，筆者將討論以下非線性雙曲方程：

(5)

的正解在有限時刻爆破的性質(zhì)。其中，u0(x)≥0,u1(x)≥0,并且它們都不恒等于0。

引理2[8]設y(t)∈C2滿足y″≥h(y(t))，y(0)=α>0,y′(0)=β>0,對于所有的s≥α都有h(s)≥0，那么y′(t)>0且：

定理3設u(x,t)∈C2是方程(5)的解，p(x)是非負連續(xù)有界函數(shù)，那么當p->q>1時，對于充分大的初值u0(x)和u1(x)，存在有限時間T>0使得：

由H?ld不等式，可以推知：

(6)

對于每一個t>0，把Ω分成2個集合：

Ω1={x∈Ω:u(x,t)<1}Ω2={x∈Ω:u(x,t)≥1}

根據(jù)Ω2的定義，可以得到:

(7)

其中c2>0。由不等式(6)和(7)可得:

η″(t)≥-λ1η(t)+εηq(t)-c2

當α=η(0)充分大時，應用引理2可得-λ1η(t)+εηq(t)-c2>0，再注意到:

因此:

于是定理3得證。

[1]Pao C V.Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations[M]. New York：Plenum Press, 1992.

[2] Samarskii A A, Galaktionov V A, Kurdyumov S P，et al. Blow-up in Quasilinear Parabolic Equations[M]. New York:Walter de Gruyter, 1995.

[3] Antontsev S N, Shmarev S I.Existence and uniqueness of solutions of degenerate parabolic equations with variable exponents of nonlinearity[J].J Math Sci, 2008,150:2289-2301.

[4] Antontsev S N, Shmarev S I.A model porous medium equation with variable exponent nonlinearity: existence, uniqueness and localization properties of solutions[J]. Nonlinear Anal,2005,60:515-545.

[5] Pinasco J P.Blow-up for parabolic and hyperbolic problems with variable exponents[J].Nonlinear Anal，2009,71:1094-1099.

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[7] 劉云霞.帶有變指標反應項的半線性拋物方程的臨界指標[D].大連:大連理工大學,2009.

[8] Glassey R T.Blow-up theorems for nonlinear wave equations[J].Math Z, 1973,132: 183-203.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.001

O175.2

A

1673-1409(2011)12-0001-03