基于龐得里亞金極值原理的企業(yè)資本結構動態(tài)最優(yōu)控制

□文/周 軍

基于龐得里亞金極值原理的企業(yè)資本結構動態(tài)最優(yōu)控制

□文/周 軍

本文從企業(yè)最優(yōu)資本結構調整的成本視角出發(fā)，建立最優(yōu)控制模型，運用龐得里亞金極值原理進行求解，推導出企業(yè)資本結構調整的動態(tài)最優(yōu)控制路徑和最優(yōu)狀態(tài)路徑，并對其結果進行經(jīng)濟學解釋。

企業(yè)資本結構；最優(yōu)控制；龐得里亞金極值原理

一、引言

資本結構不合理是中國企業(yè)存在的普遍現(xiàn)象，非上市國有企業(yè)、上市公司和中小企業(yè)三大群體分別以債務融資、股權融資、個人資本為主的三元化融資趨勢依然明顯，由此形成的資本結構與以企業(yè)價值最大化為目標的資本結構相去甚遠。作為公司金融理論探討的核心內容，研究如何實現(xiàn)企業(yè)資本結構優(yōu)化不僅是國內外學者關注的熱點，也是提高企業(yè)資本配置效率，增強企業(yè)價值創(chuàng)造能力亟須解決的問題。

資本結構是一個多變量、多層次、多因素集約而成的復合性系統(tǒng)，在一定時點上觀察，企業(yè)的資本結構呈現(xiàn)出靜態(tài)特征，表現(xiàn)為權益資本和負債二者之間的比例關系；從一段時期上觀察，資本結構又表現(xiàn)為明顯的動態(tài)屬性。根據(jù)企業(yè)內部資本組成的狀態(tài)不同，可分為靜態(tài)資本結構和動態(tài)資本結構。靜態(tài)資本結構反映某一時點上企業(yè)全部資金來源的構成及比例關系。現(xiàn)代資本結構理論主要是從靜態(tài)角度，以各種假設前提為基礎，分析企業(yè)債務與權益的比例關系，認為只要企業(yè)資本總量不變，已實現(xiàn)的最優(yōu)資本結構就應保持不變，并未考慮外界經(jīng)濟環(huán)境與企業(yè)自身生產(chǎn)經(jīng)營條件的變化對資本結構的影響。事實上，影響資本結構的諸多因素都是變量，即使資本總量不變，企業(yè)也不能以不變的資本結構應萬變。動態(tài)資本結構則是企業(yè)依據(jù)獲取的資金特征及時合理地調整各類資金來源的即時結構。由于企業(yè)資金總是處于不停的變化中，因此靜態(tài)資本結構往往只是動態(tài)資本結構在某一時點上的體現(xiàn)，或者說是動態(tài)資本結構運行的結果。顯然，合理的資本結構應該是靈活的、富有彈性的，能夠根據(jù)外部環(huán)境的變化和企業(yè)戰(zhàn)略的需要進行適時的調整，達到運動中的“最優(yōu)”。而資本結構動態(tài)優(yōu)化需要解決這樣的問題：在整個規(guī)劃期間內的每個時期（離散時間情形）中，或者在給定時間區(qū)間內的每一時刻（連續(xù)時間情形），甚至可以考慮無限時間計劃水平，企業(yè)資產(chǎn)負債率的動態(tài)最優(yōu)解。這樣，動態(tài)優(yōu)化問題的解通常具有如下形式：對于企業(yè)融資決策，最終會有一條資本結構的最優(yōu)時間路徑，即計劃期每一時刻的最優(yōu)值。

但是，企業(yè)資本結構優(yōu)化需要通過一系列交易行為來實現(xiàn)，無論是單獨調整債務或權益數(shù)量，還是同時變動，都需要付出交易成本。因此，本文將從企業(yè)最優(yōu)資本結構調整的成本視角出發(fā)，建立最優(yōu)控制模型，運用龐得里亞金極值原理進行求解，并就其結果進行經(jīng)濟學解釋，為提高公司治理水平提供參考。

二、最優(yōu)控制模型建立及求解

資本結構是長期融資行為的結果，向最優(yōu)資本結構的調整也是一個長期漸進的過程。對企業(yè)而言，與最優(yōu)負債權益比存在差距是必然的。由于最優(yōu)資本結構是動態(tài)變化著的，所以企業(yè)不可能時刻都保持著最佳負債權益比，而且企業(yè)不可能在很短時間內轉變現(xiàn)有融資行為，將資本結構調整到理想狀態(tài)。

動態(tài)優(yōu)化的目的是在修正原有融資戰(zhàn)略實施的過程中，對資本結構的偏離予以適時修正，使融資戰(zhàn)略緊密圍繞可持續(xù)增長目標，以適應復雜多變的環(huán)境。動態(tài)優(yōu)化的實質是一個戰(zhàn)略調整與控制過程，即通過對資本結構優(yōu)化影響因素的辨識，分析其對企業(yè)最優(yōu)資本結構的作用，從而通過債務與權益資本的增減變化對資本結構進行科學的調整，保持企業(yè)可持續(xù)發(fā)展的潛力，以實現(xiàn)企業(yè)價值最大化的總目標。我們對最優(yōu)資本結構模型的表述，用X統(tǒng)一代表t時刻企業(yè)最優(yōu)資本結構的決定因素，建立如下函數(shù)關系：

其中，L*（t）表示企業(yè)在t時刻的最優(yōu)負債權益比率。由于不同企業(yè)具有不同的最優(yōu)資本結構決定因素X，因此企業(yè)擁有各異的最優(yōu)資本結構。而且對于同一家企業(yè)來說，X隨時間t的變動而變化，其最優(yōu)資本結構在不同時期也將有所差別。理想情況中，公司在t時刻的資本結構觀測值L（t）應當?shù)扔谄渥顑?yōu)資本結構L*（t）。在企業(yè)調整資本結構的背景下，公司的資本結構從上一期 L（t-1）調整到當期 L（t）的實際調整額（L（t）－L（t-1）），應當?shù)扔谡{整到當期的最優(yōu)資本結構L*（t）所需要的調整額（L*（t）-L（t-1））。不過，由于資本結構調整成本等干擾因素的存在，企業(yè)在每一期不是將資本結構調整到最優(yōu)值，而是只調整一部分，由此引入一個部分調整模型，即調整參數(shù)為δ（t）。

（3）式給出了資本結構的動態(tài)調整模型，由該模型可以看出，企業(yè)實際資本結構不僅受最優(yōu)資本結構的影響因素制約，還與上一期債務與權益的數(shù)量情況有關。為了找到資本結構優(yōu)化有效性的量度，本文將定義δ（t）為資本結構優(yōu)化速度，即每一特定時間內企業(yè)實際資本結構調整量與最優(yōu)資本結構調整量的比值，表示資本結構優(yōu)化的快慢。如果δ（t）＜0，說明實際資本結構調整方向與最優(yōu)狀況相反，離最優(yōu)負債權益比差距越來越大；如果 0＜δ（t）＜1，說明實際調整方向相同，不過單位時間內的幅度稍小；如果δ（t）＝1，說明實際與最優(yōu)狀態(tài)相符；如果 δ（t）＞1，則意味著調整速度過快，已經(jīng)超出目標資本結構。一般情況下，優(yōu)化速度將位于［0，1］之間，表示企業(yè)正在進行著資本結構優(yōu)化的努力，但有很多因素制約著優(yōu)化速度。

我們可以把L（t）－L（t-1）看作L*，把L*（t）－L（t-1）用參數(shù) ω 代表，由-1≤L≤1，知 ω 的范圍為［-1，1］，因此資本結構動態(tài)優(yōu)化狀態(tài)變量需滿足：

另外，設初始時刻（t=0）企業(yè)資產(chǎn)負債率為L0，終止時刻狀態(tài)變量自由。根據(jù)資本結構運動導致的財務風險和優(yōu)化的成本收益分析，結合漸進穩(wěn)定性的內涵，為了防止資本結構過度調整帶來的負面效應，我們把資本結構優(yōu)化速度的范圍設定為：

企業(yè)資本結構優(yōu)化需要通過一系列交易行為實現(xiàn)，無論是單獨調整債務或權益數(shù)量，還是同時變動，都需要付出交易成本。結合資本結構優(yōu)化行為的具體情況，我們把影響企業(yè)資本結構優(yōu)化的交易成本△E的因素簡化為四個特征性變量：交易數(shù)量、資產(chǎn)專用性程度、資本結構優(yōu)化的決策效率（源于委托代理問題）和市場不確定因素（即企業(yè)經(jīng)營者控制不到的隨機因素）。如果假設這四種特征性變量為 q，k，ρ，φ，則交易成本函數(shù)可以表示為：

需要說明的是，q指企業(yè)采取資本結構優(yōu)化行為所發(fā)生的交易額度，代表企業(yè)為達到資本結構優(yōu)化目的進行的全部交易，既包括債務的改變，也包括權益的改變。同時，我們把q看作一個標量，不區(qū)分優(yōu)化的方向。如果單位時間內企業(yè)將債務權益比例調整到最優(yōu)，q=1；相反，若企業(yè)根本沒有進行資本結構優(yōu)化行為，q=0，沒有產(chǎn)生交易成本；更一般的情況，企業(yè)采取資本結構優(yōu)化措施，但并沒有達到最優(yōu)狀態(tài)，0

假設1：不考慮企業(yè)資產(chǎn)專用性程度和市場不確定因素的影響，只分析交易數(shù)量與交易成本之間的關系，優(yōu)化速度越快，單位時間內交易額越大。

假設2：根據(jù)一般的交易成本經(jīng)濟學理論，交易額越多，優(yōu)化行為的交易成本應該越大，即 ?E/?q＞0；而且，隨著交易額的增加，交易成本增加得越快，即 ?2E/?q2＞0。

假設3：假定交易成本為最普通的成本函數(shù)，由兩部分組成：一是固定交易成本，即不隨交易量變化而改變的成本；二是可變交易成本，即隨著交易數(shù)量變化而改變的成本。有了這種劃分，可知當交易量為零時，交易成本也為零；不過，一旦優(yōu)化行為發(fā)生，固定數(shù)量的交易成本就不可避免。

經(jīng)綜合考慮，企業(yè)資本結構動態(tài)優(yōu)化的目標函數(shù)由兩部分內容組成：一方面某一時期資本結構與最優(yōu)資產(chǎn)負債率之間的差距導致了資本運營的低效率（主要指除財務資本成本之外的代理成本、破產(chǎn)風險等因素產(chǎn)生的低效率），這種低效率可表示為（L－L*），由于該數(shù)值可正可負，將其平方處理（L－L*）2作為資本運營低效率產(chǎn)生的成本；另一方面在把交易成本看作二次線性函數(shù)、收益看作一次線性函數(shù)的條件下，資本結構優(yōu)化行為帶來的成本可表示為（pδ2-qδ+h），（p≥0，q≥0）。這樣，t時期企業(yè)資本結構優(yōu)化行為的總成本等于｛（L－L*）2＋（pδ2-qδ+h）｝，其中 L 為狀態(tài)變量資產(chǎn)負債率，δ為控制變量資本結構優(yōu)化速度。由于優(yōu)化問題的目標函數(shù)一般為極大值，而我們得到的是時期t的總成本，所以加負號將成本最小問題轉化為最大值問題-（L－L*）2-（pδ2-qδ+h）。進一步可得到企業(yè)資本結構動態(tài)優(yōu)化的目標函數(shù)：

綜上，可以得到資本結構調整的最優(yōu)控制模型：

其中，δ為外生控制變量。利用龐得里亞金極大值原理求極值問題，首先構造哈密爾頓函數(shù)：

有了 δ（t）解析表達式，再將其代入（8）式，可以得到狀態(tài)變量L（t）的表達式：

三、最優(yōu)狀態(tài)路徑與最優(yōu)控制路徑解釋

得到最優(yōu)控制路徑和最優(yōu)狀態(tài)路徑的數(shù)學解析式以后，還需要對計算結果進行經(jīng)濟學解釋。對于最優(yōu)狀態(tài)路徑，由于時間T的資本結構沒有加以限制，所以無法解出參數(shù)A的具體數(shù)值。為了更好地說明狀態(tài)變量變化，我們設L-L*=M，對公式（15）進行轉換，得：

1、資本結構動態(tài)優(yōu)化的最優(yōu)狀態(tài)路徑L可解釋為：資本結構L將隨著時間動態(tài)變化，當 t=0 時，M＝L0－L*，即L＝L0；隨著時間 t的增加，公式（17）的分子逐漸變小，分母逐漸變大，說明L－L*＝M的值趨于減少，實際資本結構與最優(yōu)資本結構的差距逐漸縮小；當t→∞時，M=0?L=L*，說明資本結構達到了最優(yōu)狀態(tài)。因此，在哈密爾頓函數(shù)下求解資本結構動態(tài)優(yōu)化模型得到的最優(yōu)狀態(tài)路徑表明，狀態(tài)變量L與L*最優(yōu)值之間的差距將呈遞減趨勢，企業(yè)資產(chǎn)負債率向著理論上的最優(yōu)值逐漸靠攏，當時間增加到一定程度，實際資產(chǎn)負債率就會十分接近最優(yōu)值，直至時間趨近于無窮大時二者相等。盡管這里假定最優(yōu)值L*是固定不變的，如果賦予L*動態(tài)特征，其最優(yōu)狀態(tài)路徑是類似的，只不過狀態(tài)變量將不斷趨近于變動著的最優(yōu)資本結構值。

2、最優(yōu)控制路徑的解釋：參考公式（14），由于前一個多項式為常數(shù)，資本結構優(yōu)化速度將隨后面多項式的數(shù)值-ω（L－L*）t/p改變發(fā)生變化。當 L＜L*時，-ω（L－L*）/p＞0，優(yōu)化速度 δ隨著時間的增加而提高，使得資本結構L向最優(yōu)值 L*逼近；當 L＞L*時，-ω（L－L*）/p＜0，優(yōu)化速度為負，資本結構即隨著時間增加而反方向變化，同樣推動著資本結構L向最優(yōu)值L*的方向調整。優(yōu)化速度δ符號的正負變化，說明資本結構將以最優(yōu)值為核心上下浮動，進一步揭示了控制變量與狀態(tài)變量的內在聯(lián)系：控制變量（資本結構優(yōu)化速度）約束著狀態(tài)變量（企業(yè)資產(chǎn)負債率）的變化，在最優(yōu)資本結構L*不變的條件下，控制的結果使狀態(tài)變量圍繞其上下波動，在最優(yōu)資本結構隨時間不斷變化的條件下，控制變量同樣使企業(yè)資產(chǎn)負債率向著時變的最優(yōu)值進行動態(tài)調整，使二者的差距保持在盡可能小的范圍內。

四、結束語

本文從企業(yè)最優(yōu)資本結構調整的成本視角出發(fā)，建立最優(yōu)控制模型，運用龐得里亞金極值原理進行求解。利用傳統(tǒng)資本結構理論解釋企業(yè)資本結構的形成、影響因素，從“動態(tài)”視角，結合控制論、最優(yōu)控制原理、公司財務理論，對企業(yè)資本結構的動態(tài)性、資本結構動態(tài)優(yōu)化的理論路徑以及企業(yè)資本結構動態(tài)優(yōu)化的實現(xiàn)機制進行了闡述。研究表明，通過對企業(yè)資本結構調整的成本與企業(yè)資本結構之間的動態(tài)關系分析，可知最優(yōu)債務權益比將隨著內外經(jīng)營環(huán)境的變化而發(fā)生改變，靜止地看待資本結構是不全面，也是不合理的。企業(yè)資本結構優(yōu)化應該是一個朝不斷變化著的目標債務權益比例持續(xù)調整的動態(tài)過程。利用系統(tǒng)控制理論，將資本結構視為動態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)是一種可行的選擇，這樣不僅使原本紛繁復雜的影響因素得以明確劃分，又賦予資本結構優(yōu)化擁有動態(tài)特征，更重要的是，以此推導出資本結構動態(tài)優(yōu)化的最優(yōu)狀態(tài)路徑和最優(yōu)控制路徑，為提高公司治理水平提供參考。

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[3]楊亞達，王明虎.資本結構優(yōu)化與資本運營[M].大連：東北財經(jīng)大學出版社，2001.

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A

（作者單位：華僑大學經(jīng)濟與金融學院）