4n階標準二次幻方的構作

潘鳳雛

(1.中國地質大學(北京)地球科學與資源學院,北京 100083; 2.西藏地質調查院,拉薩 850000)

4n階標準二次幻方的構作

潘鳳雛1,2

(1.中國地質大學(北京)地球科學與資源學院,北京 100083; 2.西藏地質調查院,拉薩 850000)

給出標準二次幻方及等重集的概念.利用2n階正交截態拉丁方,Z4n={0,1,…,4n-1}的對稱2次等冪和等分(劃分)以及方陣的簡單變換構作了4n(n≥2,n≠3)階標準二次幻方.由于n=3時,存在12階標準二次幻方,而n=1時,不存在4階標準二次幻方,故4n階標準二次幻方的存在性已經完全解決.

標準二次幻方;等重集;正交截態拉丁方

1 引 言

二次幻方的研究可以追溯到法國人Pfeffermann于1890年構作的如下幻方[1]：

該方陣具有8行8列及2條對角線的和為260,而平方和為11180的奇特性質,從而開了高次幻方研究的先河.由此,自然引出了如下定義:

定義1.1稱由n2個整數(不一定不同)構成的n階矩陣為n階廣義二次幻方,簡記為BMS(n),如果其n行、n列及兩條對角線上的n個元素的和為定值S1而平方和為定值S2.若廣義幻方由n2個連續整數構成,則稱其為正則的;若正則二次幻方由不大于n2-1的所有非負整數構成,則稱其為標準的,記為SBMS(n).稱S1(S2)為一次(二次)幻和.

顯然,1階二次標準幻方總存在.為方便,還需要如下定義:

定義1.2若多重集M的元素組成的集合S的任一元素在M中的重復次數均為r,則稱M為等重集或r-重集,記為M=r·S.

100多年來,學者們在標準二次幻方的研究上取得了大量成果[1-4].已知結果如下:

定理1.3[1]若n∈{2,3,4,5,6,7},則不存在SBMS(n).

定理1.4[1,2]若n=1或8≤n≤64,則存在SBMS(n).

在另文中,我們將證明

定理1.5設N為正整數,若存在m?{1,2,3,6}使得m|N,(N/m)?{1,2,3,6}且m+N/m為偶數,則存在SBMS(N).

本文進一步給出4n階標準二次幻方的簡單而統一的構作,即證明如下主要結果：

定理1.6若n≥2為正整數,則存在SBMS(4n).

在本文中,約定m,n為正整數,矩陣的下標從0開始,Zn表示集合{0,1,…,n-1}.

2 幾個引理

引理2.1[5]若n?{2,3,6},則存在n階正交對角拉丁方.

因此,n?{2,3,6}時存在n階正交截態拉丁方.

引理2.2設n≥3,d0,d1,…,dn-1為任意復數,且c滿足

引理2.3設n≥2,c=4n-1,ai(i∈Z4n).由

確定,則

證 由引理2.2易證.

引理2.4設a,b,c為任意復數,則

引理2.5設n≥2,ai∈Z4n(i∈Z4n)由引理2.3確定,bi∈Z4n(i∈Z4n),由

3 主要結果的證明

本節,總設ai,bi的意義同于引理2.3和2.5.為方便構作,還需要定義如下一些矩陣.設

為任意矩陣,記

其中a為任意常量.兩個m×n矩陣D和E疊合后形成的陣列記為(D,E).再記

定理3.1設m=2n,n≥2,n≠3,A=(aij)m×m為SA1上的截態拉丁方且aii=ai(i∈Zm),C=(cij)m×m為SB1上的截態拉丁方且cii=bi(i∈Zm).再設A與C正交,B=(bij)m×m由

確定.那么,

(3.1.1)A與B正交;

(3.1.2)B的任一行的2n個元素兩兩不等且兩兩之和不為4n-1.

(3.1.3)B的任一列的2n個元素的集合為SA1或SA2.

證A,C的存在性由引理2.1所保證.顯然,C的位于不同列的與A的同一元素對應的2n個元素b0,b1,…,b2n-1的每一個bi在B中的相同位置的元素只能為bi或4n-1-bi之一,因此,B的這2n個元素中的任意兩個不等且和不為4n-1,否則推出j≠i∈Z2n時bi=bj或bi+bj=4n-1,這是矛盾.故A與B正交.同理,C的任一行的2n個元素b0,b1,…,b2n-1的每一個bi在B中的相同位置的元素只能為bi或4n-1-bi之一,因此(3.1.2)成立.因

故由B的構成可知(3.1.3)成立.

定理3.2設m=2n,n≥2,n≠3,A,B由定理3.1構作,簡記AC‖4n-1‖為AS,BC‖4n-1‖為BS.再設

則 P為4n階標準二次幻方.

證 顯然

先證G與H正交.若(AY,BXS)中存在兩個位置(i,j)和(k,l)使

則aim-1-j=akm-1-l且bim-1-j=bkm-1-l.由于A與B正交,故i=k,j=l.這說明(AY,BXS)中沒有相同元素.同理可證(AYS,BX)及(AS,BS)中沒有相同元素.若(A,B)和(AY,BXS)中有相同元素,則存在兩個位置(i,j)和(k,l)使

故得bij+bkm-1-l=4n-1.因B中任意兩個元素之和不為4n-1,故導致矛盾.同理可證(G,H)中的其余位置的元素也是兩兩不同的.

由于 G和H的元素均屬于Z4n,故 P由0,1,…,16n2-1的所有元素組成.

次證G和H為廣義二次幻方.因G的每列和兩條對角線上元素之集均為Z4n,故每列和兩條對角線上元素之和為n(4n-1)而平方和為n(4n-1)(8n-1)/3.因AY為A的Y軸鏡像映射矩陣,AYS為AS的Y軸鏡像映射矩陣且AS為SA2上的截態拉丁方,故 G的每行元素組成的多重集為2·SA1或2·SA2,故由引理2.5知每行元素之和為n(4n-1)而平方和為n(4n-1)(8n-1)/3.同理,因 H的每行和兩條對角線上元素之集均為Z4n,故其上元素之和為n(4n-1)而平方和為n(4n-1)(8n-1)/3.再由定理3.1中的(3.1.3)知 H的每列元素組成的多重集也為2·SA1或2·SA2,故G和H為廣義二次幻方.

再證 G和 H對應元素乘積構成的矩陣(記為[GH]=(gij hij)4n×4n)為廣義幻方(每行、每列及兩條對角線上元素之和為定值).分四種情況證明.

(a)主對角線

確定,則將上述構作方式稍微變換,可構作元素互異的k≥2時的BMS(4k+2).

4 例 子

舉8階標準2次幻方的構作為例.仿照引理2.3和2.5的方法,可構作四個集合如下：

由此可構作兩個正交的對角拉丁方A,C和方陣B如下:

再由定理3.2可構作方陣G,H,P如下:

易于驗證 P為8階標準2次幻方且具有中心對稱性質.

[1] Christian B.Multimagic squares[DB/OL].http：//www.multimagie.com.

[2] 高治源.平方幻方[DB/OL].http：//www.zhghf.net.

[3] 李立.用正交拉丁方構造兩次幻方[J].數學季刊,1990,5(4)：95-101.

[4] 魯思順.2m(2n+1)2階平方幻方的構作方法[J].山東師大學報(自然科學版),1991,6(2)：117-120.

[5] Brow n JW,Cherry F,Most L,et al..The spectrm of orthogonal diagonal Latin sqares[M].Rees R S.Graphs, Matrices and Designs.New Yo rk：Marcel Dekker,1993：43-49.

O157

A

1672-1454(2011)05-0103-05

2008-06-10