從泛函延拓的視角看Lebesgue積分和Riemann積分

馮曉亮

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)系,南京 210046)

從泛函延拓的視角看Lebesgue積分和Riemann積分

馮曉亮

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)系,南京 210046)

約定1＜p＜∞,定義空間Cp[a,b],證明Cp[a,b]是Lp[a,b]的子空間.利用Lebesgue積分和Riemann積分在Lp[a,b]和Cp[a,b]上分別定義線性泛函L和R,證明二者有界且有相等范數(shù).利用 Taylor定理和已得結(jié)論證明L是R從Cp[a,b]到L p[a,b]的唯一保范延拓.

Lebesgue積分;Riemann積分;保范延拓;嚴(yán)格凸

定義1稱賦范線性空間X是嚴(yán)格凸的,若?x,y∈X,當(dāng)x≠y,‖x‖=‖y‖=1時,有

引理1[1]Lp[a,b]是嚴(yán)格凸空間,L∞[a,b]不是嚴(yán)格凸空間.

引理2[2](Taylor)設(shè)X是賦范線性空間,若X的共軛空間X＊嚴(yán)格凸,則X的每個線性子空間上的每個連續(xù)線性泛函都可唯一地保范延拓到X上.

定理1Cp[a,b]是Lp[a,b]的賦范線性子空間.

證?f∈Cp[a,b],由可測集上的連續(xù)函數(shù)一定可測知f在[a,b]上可測,從而|f|p在[a,b]上可測.另外易見|f|p在[a,b]上有界,于是|f|p在[a,b]上Lebesgue可積,即f∈Lp[a,b],這就證明了Cp[a,b]?Lp[a,b].注意到Cp[a,b]本身是一個線性空間,于是Cp[a,b]是Lp[a,b]的賦范線性子空間.

證 只證(i),(ii)類似可證.

定理3設(shè)M是L p[a,b]空間的子空間,F是M上的連續(xù)線性泛函,則F在L p[a,b]上存在唯一保范延拓.

定理4R作為Cp[a,b]上的有界線性泛函,它在Lp[a,b]上有唯一保范延拓.

證在定理3中令M=Cp[a,b],F=R即得證.

定理5L是R從Cp[a,b]到Lp[a,b]的唯一保范延拓.

[1] 定光桂.巴拿赫空間引論[M].北京：科學(xué)出版社,1984.

[2] Taylo r A E,Lay D C.Introduction of Functional Analysis[M].New York：John Wiley&Sons,1980.

O172.2

A

1672-1454(2011)05-0069-02

2008-10-13; [修改日期]2009-02-24