模糊判斷矩陣最優化排序方法研究綜述

和媛媛，鞏在武

(南京信息工程大學經濟管理學院,南京210044)

模糊判斷矩陣最優化排序方法研究綜述

和媛媛，鞏在武

(南京信息工程大學經濟管理學院,南京210044)

文章研究基于模糊判斷矩陣的方案排序問題。根據完全一致性模糊判斷矩陣的特性，依據不同的優化標準建立幾種求解排序向量的最優化模型，從而解決具有滿意一致性的模糊判斷矩陣的方案排序問題，并對常用最優化排序方法進行了總結，初步分析了各種方法排序結果的合理性。

模糊判斷矩陣;一致性;最優化模型;方案排序

近年來，許多學者針對模糊判斷矩陣排序問題進行了大量的研究。文獻[1]從最優化角度提出了模糊判斷矩陣排序的權的最小平方法，并給出了嚴格的理論證明。同時，基于轉換矩陣提出了模糊判斷矩陣排序的特征向量法，給出了其相應的迭代算法及互補判斷矩陣的一致性檢驗方法。文獻[2]針對Fuzzy偏好關系建立了最優化模型，并通過求解該模型得到方案的參考排序值，使得最終方案的排序結果最大程度地反映決策者的偏好。文獻[3]利用正互反判斷矩陣與模糊判斷矩陣的轉換關系，探討了模糊判斷矩陣的兩種排序方法——對數最小二乘法和對數最小一乘法。在上述研究工作的基礎上，本文針對基于模糊判斷矩陣的方案排序問題，建立幾種求解排序向量的最優化模型，并對常用最優化排序方法進行歸納總結和分析，致力于為決策者選擇合理的方案決策方法提供理論依據。

1 相關概念

考慮一個有限的決策方案集(或指標集)X={xi|i=1,2,…，n}，記N={1,2,…，n}，其中xi(i∈N)表示第i個決策方案。在對方案進行排序時，決策者針對方案集X提供的偏好信息是由一類用實數值表示的模糊判斷矩陣給出的。下面給出模糊判斷矩陣及其一致性的一些描述。

定義1[4]稱直積X'X上的一個模糊子集P∶X×X→[0,1]或為X中的(二元)模糊關系。記pij=μp(xi,xj)，pij表示方案xi優于方案xj的相對重要程度，具體規定如下：

(1)pij=0.5，表示xi與xj同樣重要;

(2)0≤pij≤0.5，表示xj比xi重要，且pij越小，xj比xi越重要;

(3)0.5

定義2[4]設二元對比矩陣P=(pij)n×n，若滿足下列性質：

(1）Pii=0.5，?i∈N；

(2）pij+pji=1，?i,j∈N,i≠j.

則稱矩陣P為模糊判斷矩陣。其中，性質(2)表示矩陣P具有互補性。

文獻[1]給出了模糊判斷矩陣的完全一致性定義。

定義4[1]對于模糊判斷矩陣P=(pij)n×n，若?i,j,k∈N,i≠j≠k.有pikpkjpji=pkipjkpij，則稱判斷矩陣P具有完全一致性。

2 最優化排序方法綜述

2.1 最優化排序方法

設A=(aij)n×n為互反判斷矩陣，P=(pij)n×n為模糊（互補）判斷矩陣，則通過轉換公式可得互反判斷矩陣A=(aij)n×n。若P=(pij)n×n為完全一致性模糊判斷矩陣，則通過公式轉換得到的互反判斷矩陣A=(aij)n×n亦是完全一致性判斷矩陣。對于(完全一致性)互反判斷矩陣A=(aij)n×n，則通過轉換公式[1]可得(完全一致性)互補判斷矩陣P=(pij)n×n。

設ω=(ω1,ω2,…，ωn)T是互反判斷矩陣A=(aij)n×n的排序向量,其中當A為完全一致性互反判斷矩陣時，則有由轉換公式，有pij=，i,j∈N，則P是完全一致性模糊判斷矩陣。根據完全一致性模糊判斷矩陣的特性，有

據此可導出如下幾個等式成立：

若P是非一致性判斷矩陣，則上述等式均不成立。為了求解方案的排序向量，根據不同的優化標準，給出以下幾種最優化排序方法：

（1）權的最小平方法（WLSM）

當判斷矩陣P不具有完全一致性，式(2)的等號不成立，則希望求得的排序向量ω=(ω1,ω2,…，ωn)T能夠使ωi盡量逼近于，從而構造下列最優化模型：

利用Lagrange乘子法解上述有約束的純量優化問題[5]，得到優化模型的解為

ω=Q-1e/eTQ-1e

其中，e=(1,1，…，1)T，

根據矩陣理論，類似于文獻[6]的證明，可證得Q是正定矩陣，且Q-1非負，故有ω>0。

（2）最小二乘法（LSM）

上述模型是非線性最小二乘問題，文獻[7]給出了求解該優化模型的簡潔的收斂迭代算法。

（3）對數最小二乘法（LLSM）

根據文獻[8]求解互反判斷矩陣的對數最小二乘優化模型的方法，同理可解得上述優化模型的解為

（4）幾何最小二乘法（GLSM）

基于文獻[9]提出的幾何最小二乘的思想，考慮式(2)的幾何意義，希望找到某點ω使得ω至式(2)所示平面方程的平方距離和最短，為此構建以下模型：

其中

（5）χ2方法（CSM）

文獻[10]在偏差函數中引入了數量統計中χ2擬合的優化準則，提出了互反判斷矩陣的χ2排序方法。根據χ2排序方法的基本原理，在偏差函數中引入χ2擬合的優化準則，構造下列優化模型：

文獻[11]給出了求解該最優化模型的收斂性迭代算法。

（6）擴展最小二乘法（ELSM）

文獻[12]給出了求解判斷矩陣的擴展最小二乘方法的收斂性迭代算法，同理上述模型亦可用該文獻給出的迭代算法求解排序向量。

（7）最小偏差法（LDM）

基于式(5)，依據文獻給出的互反判斷矩陣最小偏差法，構造下列優化模型：

文獻[13]證明了最小偏差法優化模型的極小值的存在性與唯一性，并提出了LDM的收斂性迭代算法。

（8）最小平方幾何距離法（LSGM）

根據文獻[14]提出的點平面距離法的基本思想，給出下列優化模型：

令B=(bij)n×n，其中

利用文獻[14]導出的點平面距離法的排序公式，解上述優化模型可得

ω=(BTB)-1e/eT(BTB)-1e

（9）基于Fuzzy偏好關系的排序方法[2]（FRM）

文獻[2]給出了一個基于Fuzzy偏好關系的方案排序方法，構造了下列帶有約束的最優化模型

并利用Lagrange乘子法求得上述模型的解為

其中，

(10)互補判斷矩陣排序的權的最小平方法[1]（CWLSM）

一般地，式(3)中等式不總能成立，為此文獻[1]引入偏差項fij=pjiωi-pijωj，i,j∈N，并構造偏差函數

顯然，偏差函數越F(ω)小越好，從而構建以下優化模型[1]：

文獻[1]通過Lagrange乘子法解得排序向量為

其中，

(11)互補判斷矩陣的對數最小二乘法[3]（CLLSM）

文獻[3]依據式(1)，引入擾動函數qij，有由擬合的角度考慮，使qij盡量接近于1，利用極小化函數來達到，給出下列優化模型：

解此優化模型得

3.2 排序方法比較分析

針對上一節列舉出的目前常見的幾種模糊判斷矩陣最優化排序方法，下面將對上述排序方法進行歸納總結和比較分析。事實上，根據模糊判斷矩陣與互反判斷矩陣之間的轉換公式，雖然轉換前后的兩種判斷矩陣在形式上發生了變化，但任意兩個方案之間的優劣關系卻沒有改變，原有偏好信息的特征被完整地傳遞到新的判斷矩陣中。所以，可將轉換公式直接代入互反判斷矩陣的最優化模型中，從而得到模型(M1)—(M8)。因此，上述模型的求解方法、一致性檢驗均與互反判斷矩陣是一致的。比如模型(M3)可看作將公式直接代入互反判斷矩陣的對數最小二乘法而得到的，而模型(M11)與之相比較可以看出，在對數運算規則下CLLSM與LLSM兩種方法是相同的。由此可見，模糊判斷矩陣的LLSM方法可以由互反判斷矩陣的LLSM法直接代入即可。

另外，比較模型(M9)與(M10)，由于模糊判斷矩陣P=(pij)n×n的互補性，即pji=1-pij，則有pjiωi-pijωj=ωi-(ωi+ωj)pij，故模型(M10)與模型(M9)是相同的。并且兩個模型各自對應的解中矩陣Q2與Q1只相差一個系數，即有Q1=2Q2，所以有因此，FRM與CWLSM兩種方法是完全相同的，故可將兩種方法統稱為CWLSM。

基于上述分析，模糊判斷矩陣的最優化排序方法的排序效果及保序性都應與互反判斷矩陣相應方法一致。因此，根據文獻[15]對各種互反判斷矩陣的排序方法的效果的研究、總結，可得出CSM是排序效果最好的一種排序方法，且排序效果較好的排序算法有LSM、LLSM、LDM，而排序效果比較差的排序算法有WLSM、GLSM以及CWLSM。除此之外，對排序方法的比較還應考慮算法的保序性。Saaty T L指出，當判斷矩陣不完全一致時，保序性是決定排序方法優劣的重要準則[16]。根據文獻[17]對各種判斷矩陣最優化排序方法的保序性的理論分析，可以得到CSM、ELSM、LSGM具有良好的保序性。綜上所述，χ2方法（CSM）是相對最好的模糊判斷矩陣的最優化排序方法。

3 結論

本文針對模糊判斷矩陣的方案排序問題，根據模糊判斷矩陣與互反判斷矩陣之間的轉換公式，將多種互反判斷矩陣的最優化排序方法推廣至模糊判斷矩陣決策領域，并對常用最優化排序方法進行了總結，并初步分析各種方法排序結果的合理性，從而為決策者選擇合理的方案決策方法提供了理論依據。顯然，由于最優化模型求解算法的復雜性，關于模糊判斷矩陣的最優化排序方法的比較分析還有待今后更深入的比較研究。

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N945.25;O223

A

1002－6487（2011）07－0165-04

國家自然科學基金資助項目(70901043)

和媛媛(1981－),女,山東泰安人,博士,研究方向:決策分析、系統工程。

(責任編輯/浩天)