馬爾可夫鏈在獎懲系統中的應用

王丙參，魏艷華，戴寧(.天水師范學院數學與統計學院，甘肅天水7400;.鄭州大學數學系，河南鄭州45000)

馬爾可夫鏈在獎懲系統中的應用

王丙參1，魏艷華1，戴寧2
(1.天水師范學院數學與統計學院，甘肅天水741001;2.鄭州大學數學系，河南鄭州450002)

文中論述了Markov鏈的基本原理，根據實例在汽車保險中建立了馬爾可夫獎懲系統，并分析了經濟含義.關鍵詞:Markov鏈;轉移概率;獎懲系統

隨著我國保險市場的全面開放，保險公司之間的競爭也越來越激烈，“獎懲系統”的作用越來越受到保險公司的重視.“無賠款優待系統”是“獎懲系統”的一種，在續保時，對有索賠記錄的投保人在保費上給予一定的懲罰;而對無索賠記錄的投保人給予一定的獎勵.目的是使保險公司能收取更真實反映保險標的風險的保險單，鼓勵那些出險較少地被保險人繼續留在同一保險公司續保.對保險公司而言，對投保人的逆選擇問題可以起到預測或抑制作用，通過客觀的評價每個人的風險，并在此基礎上使每個保單持有人繳納的保費與其風險大小成比例，從而激勵投保人提高安全意識，即可以規避風險，又可以留住優質保單，提高經營效益;對被保險人而言，又可以降低保險費，提高投保積極性.“無賠款優待系統”在汽車保險中的作用越來越受到各國政府的重視，各國根據自己的實際國情在發展的過程中適時對已有無賠款優待系統制度進行不斷的完善［1－3］.獎懲系統是馬爾可夫過程的特殊情形，馬爾可夫分析可以幫助我們判斷在確定代表駕駛員實際風險的調整保費時獎懲系統的效果如何，因此，本文利用馬爾可夫鏈建立了獎懲系統模型，從而刻畫了顧客實際風險調整時保費如何變化并分析了經濟含義.

1 基本概念

定義在(Ω，F，P)上的馬爾可夫鏈{X(n)，n∈T}，其中指標集T={0，1，2，…}，狀態空間I={i0，i1，…}，稱Pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i}為在時刻n的一步轉移概率，簡稱轉移概率.如果上式的條件概率與n無關，則稱為齊次馬爾可夫鏈.稱條件概率=P{X=j|X=i}，i，j∈I，m0，n1為m+nmn步轉移概率，p(n)=()為n步轉移矩陣，其中0，i，j∈I，=1，i∈I，.顯然具有下列性質:

2 獎懲系統模型

汽車保險是非壽險的一個重要分支，在許多國家汽車險甚至在總保費收入中占的比例最大.保險的本質在于“幸運的”保單持有人為“不幸運的”保單持有人買單.但在私營保險中，利益共同體不應該導致“好的”被保險人固有地要為另一個“差的”被保險人買單這樣的一個局面.若保險人試圖將這種補貼利益共同體強加于客戶，他將會看到“好的”被保險人紛紛離他而去，而留下的只是“差的”被保險人，也就是劣幣驅趕良幣.經驗費率系統中的獎勵被視為對細心的駕駛員的一種獎賞，而對于事故頻發的駕駛員來說，增加的保費被視為對他追加的罪有應得的罰款.在汽車保險中使用獎懲系統的主要目的是:(1)公平保費負擔，使被保險人繳納的保險費反映真實的風險水平;(2)降低保險公司受理小額理賠的費用，因為被保險人為了獲得保費獎勵，會自付小額理賠;(3)鼓勵被保險人在駕車時更加小心謹慎，主動控制風險.不過，獎懲系統在實際中也受到了一些批評，如:(1)破壞了被保險人的經濟穩定性.被保險人購買保險就是為了通過繳納固定的保險費將不確定的風險轉嫁給保險人，但在獎懲系統下，被保險人還得承擔續期保費的變異性;(2)被保險人的互助合作關系削弱了;(3)違背了大數定律，即有組織的拋棄了保險原則.但盡管如此，獎懲系統在實踐中仍然得到了廣泛的應用［5］.

駕駛員本身的狀況稱為自身的狀態，我們假定有n個狀態的.設在一個特定的獎懲系統中有一個駕駛員，如果他在第i－1，i年中有理賠記錄，那么他在i+1年需要繳納一個較高的保費ci+1;如果他在第i－1年中有理賠記錄而在第i年無理賠記錄或者第i年中有理賠記錄而在第i－1年無理賠記錄，那么他在i+1年需要繳納一個保費ci;否則他只需要繳納保費ci－1，ci－1＜c1＜ci+1.設一個駕駛員在一個保單年度里發生一個或多個理賠的概率為p，q=1－p，則我們得到下面具有轉移概率為pij的轉移矩陣

其中a=q2，b=1－a－c，c=.記，i∈I表示由狀態i出發，經n步首達i的概率，μi=表示由i出發再返回i的平均返回時間.

定理2［4］不可約非周期馬爾可夫鏈是正常返的充要條件是存在平穩分布，且此平穩分布就是極限分布{i/μj，j∈I}.

由于有限狀態的不可約非周期馬爾可夫鏈只有正常返態，故由定理2必存在平穩分布，而獎懲系統中的馬爾可夫鏈是有限狀態的非周期不可約馬爾可夫鏈，故獎懲系統中的馬爾可夫鏈必存在平穩分布.

如果駕駛員在初始時刻處于狀態i=1，…，n的概率為PT(0)=(p1，p2，….pn)，則有m個周期之后處于狀態i=1，…，n的概率為PT(m)=PT(0)p(m)= PT(m－1)P.由于存在平穩分布，不妨假設為π= {π1，…，πn}，則π=πP，我們可以通過軟件求出數值解.顯然平穩分布是P的特征根1的左特征向量.由定理2可得μ=(，…)，即司機從狀態i，i= 1，2，…，n返回原來的狀態平均所需要的時間分別是:μ=…)，年.如果假定個體保單索賠頻n率服從P(λ)，其穩態概率分布就是πi(λ)，則其平均獎懲系數就是AP(λ)=π(λ)·c=πi(λ)ci.這種方法的重要意義在于可以發現交高額保費的司機，如果按照目前的狀態和趨勢發展，不對其采取有效的治理措施，保費回到低狀態是很難的，因此必須加以干預，通過各種有效的措施來改善保費水平，如開車更加小心，雪天防滑等等.

設齊次馬爾可夫過程{X(t)，t0}的狀態空間I={0，1，…}，轉移概率為pij(t)，如果

則稱{X(t)，t0}為生滅過程，λi，μi分別稱為出生率和死亡率.由定理1得

注意:當市場條件改變的時候，我們用此法得到的結果與現實差距太大，如果貿然使用，會出現錯誤，因此此時要特別分析［6］.

獎懲系統的最終目的是使得每個人繳納的保費盡可能地接近于其年理賠額的平均值［7－8］.為了研究一個獎懲系統是否能有效地實現這個目的，則必須來看看保費是如何依賴于理賠頻率λ的.穩定狀態保費定義為b(λ)=π*(c1，…，cn)T，這就是在初始狀態影響已經消失后要繳納的平均保費，原則上這個保費應該與λ成比例，這是因為理賠頻率數強度為λ的駕駛員的平均年理賠總額等于單個平均理賠額的λ倍，并且已經假定單個理賠額與理賠頻數獨立.稱e(λ)==為Loimaranta功效，由于彈性系數=，所以e(λ)表示穩態保費b(λ)關于λ的彈性.計算彈性有一種近似方法，首先給出λ的一個值，計算對應的b(λ)的值，然后增加一個很小的量△λ，得到λ+△λ，再計算b(λ+△λ)，則得到索賠頻率為λ的彈性近似值η(λ)=我們很容易利用軟件求得不同的λ取值所對應的彈性系數.對于充分小的h，由泰勒展開可得b(λ(1+h))≈b(λ)+λh=(1+e(λ)h)，因此在理想的情況是功效應當滿足e(λ)≈1，功效小于1意味著差駕駛員占便宜.由于穩態保費并不依賴于初始狀態，所以其Loimaranta功效不依賴于初始狀態，盡管兩者均依賴于理賠頻數λ.在各種系統中保費的百分比均為正的有限數，即b(0)＞0，b(∞)＜∞，但在很多實際的獎懲系統中有b(∞)＜∞，所以

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［8］張博著.精算學［M］.北京大學出版社，2005.

(責任編輯:王宏志)

F224.7

A

1008－7974(2011)04－0009－03

甘肅省自然科學研究基金計劃(096RJZE106);天水師范學院科研基金(TSA0931).

2010－12－30

王丙參(1983－)，河南南陽人，碩士，天水師范學院數學與統計學院講師.