二維飽和多孔介質因點匯誘發比奧固結的解析解

李培超

（上海工程技術大學 機械工程學院，上海 201620）

1 引 言

眾所周知，Biot首次推導建立了較為嚴格和完整的飽和土體三維固結理論[1－2]，從而奠定了多孔介質流-固耦合滲流理論的基礎。Biot固結理論從提出至今，已被廣大巖土力學工作者所接受，它在很多工程領域都有廣泛地應用，如軟土地基固結沉降、地下流體開采誘發地面沉降、邊坡穩定性問題、城市垃圾填埋及核廢料處理、煤層氣的耦合滲流和突出、生物體軟組織變形等領域。

因點源匯誘發的土體固結問題的解析解，目前已有不少文獻報道[3－5]，但它們絕大多數都是針對三維區域(如半空間)或無限區域的。文獻[6]首次給出了二維有限矩形區域點匯誘發的流動變形耦合問題的解析解。但所采用的數學模型是不可壓縮多孔介質模型，本文則嘗試給出二維有限區域可壓縮多孔介質模型的解析解。

2 數學模型

2.1 控制方程組

考察二維有限矩形區域內因點匯(源)誘發的Biot固結問題，物理模型如圖1所示，該問題可視為平面應變問題。假設多孔介質被單相流體所完全飽和，且是均勻各向同性和線彈性的，此時Biot固結理論(或稱可壓縮多孔介質模型)可簡化為

式中：p為孔隙流體壓力；u和w分別為水平方向和豎直方向的位移；α =1- Kb/Ks，為Biot孔隙彈性系數，Kb為多孔介質體積彈性模量，Ks為固體顆粒體積彈性模量；λf= k/μf是孔隙流體流度，k為絕對滲透率，μf為孔隙流體黏度；φCt= φ/ Kf+ (α - φ)/Ks，φ為多孔介質孔隙度，Ct為總體壓縮系數，Kf為孔隙流體體積彈性模量；χ=λf/(φCt)為導壓系數； m = 1/(1 - 2v)，v為多孔介質泊松比；G為剪切體積彈性模量為體積應變；q代表單位體積的源(源取正，匯取負)，量綱為1/s。

如果不考慮多孔介質固體顆粒和孔隙流體的壓縮性，即Ks→∞，Kf→∞，則α→1，1/χ→0，此時式(1)～(3)退化為

方程組(4)～(6)顯然即是文獻[6]所采用的不可壓縮多孔介質模型。

圖1 二維有限矩形多孔介質示意圖[6]Fig.1 Sketch of finite two-dimensional rectangular porous media[6]

2.2 邊界條件和初始條件

為簡單起見，本文假設壓力場和位移場邊界條件與文獻[6]完全相同，如圖1矩形四條邊所示。同時假設初始條件為 u(x,z,t = 0)= 0,w(x,z,t = 0)=0,和 p(x,z,t = 0)= 0。控制方程組(1)～(3)與邊界條件和初始條件構成了封閉的定解問題。下文試圖給出該定解問題的解析解。

3 積分變換和求解

3.1 積分變換和變換域上的解析解

對于上述平面應變固結問題，可實施有限正余弦變換和拉氏變換求其解析解。相應變換定義[6]為

式(8)～(10)即是可壓縮多孔介質模型在變換域上的解析解。可見以上解答中包含參數α及χ，即體現了Biot孔隙彈性系數以及多孔介質壓縮性的影響，而這些因素在不可壓縮模型的解析解[6]（即文獻[6]之式(19)）中是根本無法反映的。

對于不可壓縮多孔介質模型，有α→1，和1/χ→ 0 ，式(8)～(10)簡化為

上述簡化解式(11)～(13)和文獻[6]之式(19)相似。前者是有量綱形式，而后者是無量綱形式。不難證明，如果慮及二者之換算關系，實際上此二解是完全相同的。這一方面證實了不可壓縮多孔介質模型之解析解可視為本文解析解的特例，同時也在一定程度上驗證了本文解析解的正確性。

3.2 物理域之解析解

對式(8)～(10)實施三重反演可得二維有限區域平面固結問題的解析解如下：

4 定流量點匯（源）問題的解析解及驗證

4.1 定流量點匯(源)的解析解

不妨假設矩形區域邊界壓力滿足 p1=p2=p3=p4=0，則有 B1=B2= 0。另假設源(匯)流量為 常 數 ， 即 q(x,z,t)= q0δ ( x - x0)δ(z - z0)， 則將B1、B2及上述值代入式(8)～(10)，并實施拉普拉斯反演，得

將式(17)～(19)代入式(14)～(16)，即得定流量點源(匯)誘發的位移場和壓力場在物理空間上的解析解。

4.2 穩態解析解的驗證

當t趨于無窮時的解通常稱為穩態解。當t趨于無窮時，對式(17)～(19)進行簡化并代入式(14)～(16)，可得穩態解為

文獻[7]給出的壓力穩態解析解為

其中：q1為定流量匯(正值)。

對于點匯，有 q0=-q1，又慮及 λn= nπ/a，則式(22)可改寫為

可見，式(24)與式(23)完全相同，這再次驗證了本文解析解之準確性。而且此處同時給出了位移場的穩態解析解，即式(20)和式(21)。

5 結 語

本文給出了有限二維區域因點匯誘發的Biot固結問題的解析解。結果表明，不可壓縮多孔介質模型的解析解是本文解析解的特例。并進一步討論分析了定流量匯所誘導的壓力場和位移場之穩態解析解，它與現有文獻解析解的完全一致性再次驗證了本文解析解的準確性和可靠性。

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