一類三階邊值問題單調迭代解的存在性

鄒序焱，陳世群

(宜賓學院數學學院，四川 宜賓 644007)

文獻［1］應用錐拉伸與錐壓縮定理以及Leggett–Williams不動點定理，證明了下列邊值問題:

至少存在一、二、三和無窮多個單調正解.

文獻［2］利用范數形式的錐拉伸與錐壓縮不動點定理討論了下列邊值問題正解的存在性:

三階多點邊值問題正解的存在性，在我們生活實踐中有著廣泛的應用，也引起了廣大學者的關注［3－7］.文獻［3］利用錐壓縮與錐拉伸定理考查了一類三階非線性周期邊值問題正解的存在性.

本章應用單調迭代技術討論了下列邊值問題:

其中，f:［0，1］×［0，+∞)→［0，+∞)是連續函數，g:［0，1］→［0，+∞)也是連續函數且滿足，且β＞0.在邊值問題不要求有上下解存在的情況下，應用單調迭代技術從簡單函數開始構建出連續的函數序列，使它趨近邊值問題的正解.

1 引理

引理1［8］邊值問題(5)+(6)的解當且僅當它滿足下面的積分方程

其中

引理2［9］設{xn}是單調序列且為相對列緊集，則{xn}是收斂序列.更進一步，若{xn}是單調增序列，則有 xn≤ x*(n=1，2，3…)，其中x*是{xn}的極限，若是減序列，則x*≤xn(n=1，2，3…).

為了證明邊值問題存在正解，我們定義

經計算滿足錐的定義.

算子

對于任意x∈P，根據(9)式得

且

由(12)式知，算子AP?P.很容易驗證算子A:P→P是全連續算子，所以算子A在P中的不動點即為邊值問題(5)+(6)的解.

2 主要結果及證明

定理1 假設存在常數a＞0，且

(H1)f(t，x1)≤ f(t，x2)，對所有的0 ≤ t≤1，0≤x1≤x2≤a;

(H3)f(t，0)不恒等于零，則邊值問題(5)+(6)存在正解v*和w*，滿足:

0＜v*(t)≤a，0＜w*(t)≤a，

且

其中:v0(t)=0，w0(t)=a;及

vn(t)=(Avn-1)(t)，wn(t)=(Awn-1)(t)，

其中 n=1，2，3… .

證明

(i)定義Pa={x∈P，‖x‖≤a}，對任意的x∈Pa，由(10)式定義的算子有

由(13)得算子A:Pa→Pa.

(ii)假設 v0(t)=0，vn=Avn-1，n=1，2，3….因為算子 A:Pa→ Pa，所以 vn∈ A(Pa)?Pa，設任意的 x(t)，x1(t)，x2(t)∈ Pa，且有 0 ≤x1(t)≤x2(t)≤a，以及G(t，s)≥0，g(s)≥0得

且Ax(t)≥0.

由(H1)得

即

由v0=0，得a≥v1(t)=(Av0)(t)≥0=v0(t).由(13)及(16)式有

依次迭代得:

(iii)假設 w0(t)=a，wn=Awn-1，n=1，2，3….由于a ＞ 0，且a∈P，a∈Pa所以

w1(t)=(Aw0)(t)≤a=w0(t).由(15)式

從而得到:

由于以上證明不能肯定v*≠w*或v*=w*，所以不能肯定算子A在Pa中存在兩個正解，但能肯定算子A在Pa中存在至少一個正解.因此邊值問題(5)、(6)存在正解.

3 舉例

考慮下列邊值問題:

其中:g(t)=1，f(t，x)=t+x2，，α =1 ＞0，β=1 ＞0.取a=1，經計算得M=3，經驗算它滿足定理1的所有條件.因此邊值問題(21)+(22)存在正解v*和w*，且

0 ＜ v*(t)≤ a，0 ＜ w*(t)≤a，t∈(0，1).存在兩個單調迭代序列和，使得

其中:vn=Avn-1，wn=Awn-1，v0(t)=0，w0(t)=a.

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