新五維超混沌Lorenz 系統

柳 妮

(四川文理學院物理與工程技術系，四川 達州 635000)

1963年，美國氣象學家Lorenz構造了著名的混沌Lorenz系統模型，開創了科學家研究混沌的先河.繼 Lorenz后，研究者構造出了混沌Rossler系統、混沌Chua電路系統、混沌Chen系統、混沌Lü系統和混沌Liu系統等著名的三維自治混沌系統，并且將這些系統廣泛應用于保密通信、控制工程、生物工程等領域.然而，這些三維自治混沌系統只有一個正的Lyapnov指數，其動力學行為不足夠復雜，吸引子結構比較簡單.隨著計算機的高速發展，短期預報、神經網絡預測等攻擊方法的進步，三維混沌系統在信息安全、保密通信等工程中的應用，其優勢越來越遭到削弱.近年來，許多研究者把目光集中在能產生兩個正的Lyapunov指數的四維超混沌系統研究上，出現一大批新的超混沌系統，例如超混沌Lorenz系統、超混Rossler系統、超混沌 Chen系統、超混沌 Liu系統和超混沌 Qi系統［1－15］及其電路實現等.

從現有文獻看，四維超混沌系統主要是在原有三維混沌系統基礎上添加線性或非線性控制項來構造不同的超混沌系統.這些四維超混沌系統中，許多系統的特征參數使系統處于混沌狀態范圍遠遠大于使之處于超混沌狀態的范圍，且可能出現混沌和超混沌區域交替的現象.而在判斷系統是否處于混沌狀態的諸多方法中，只有李雅普諾夫指數法可以區分系統是處于混沌狀態還是超混沌狀態，其它的方法如功率譜法、龐加萊截面法等不能區分系統是處于混沌狀態還是超混沌狀態.如果一個系統處于超混沌狀態的參數范圍過小，那么它在外界影響下，較容易得到混沌信號，而不容易區分所得到的信號是混沌的還是超混沌的.因此，最近研究的主要目標是擴大系統處于超混沌狀態的參數范圍［11－12］，研究方法是改變三維系統到四維系統中加入的控制器的類型和調整不同參數，這些方法局限于四維系統，由于系統參數甚多，要得到超混沌狀態范圍廣的參數十分不易.本文針對已有方法的不足，通過增加維數的方法，嘗試構造出五維超混沌Lorenz系統，力求達到:1)擴大系統處于超混沌狀態的特征參數范圍;2)盡量減小或者除去系統處于混沌狀態的參數范圍，避免混沌與超混沌交替出現;3)從分岔圖看，力求完美呈現出系統從穩定到周期、擬周期、混沌和超混沌狀態的演化過程.

1 新超混沌Lorenz系統描述

文獻［16］給出了一個三維超混沌Lorenz系統，系統方程為:

我們在系統(1)上加入一個非線性反饋控制器w到第一個方程，再加入一個線性狀態控制器u到第二個方程，構成一個新的五維自治系統，以期擴大系統處于超混沌狀態的范圍，突顯系統從平衡點到周期軌道再到擬周期、混沌和超混沌的過程.具體動力學系統方程為:

2 系統耗散性分析和系統平衡點分析

2.1 系統耗散性分析

對系統(2)，有所以系統(2)是耗散系統，并且以指數速率收斂，當t→∞ 時，包含系統軌線的每個小體積元以指數速率收縮到0，最終系統所有的軌線將被限制在一個體積為0的極限點集上，并且它的漸近動力學行為會被固定在一個吸引子上，這說明混沌和超混沌吸引子存在.

2.2 系統平衡點分析

系統(2)的平衡狀態方程為

解方程組(4)可得系統唯一平衡點 S0(0，0，0，0，0)與系統的參數 a，b，c，d，r都無關.系統在平衡點S0處線性化系統(2)得到對應的Jaccobi矩陣為

其特征值方程為

(λ +b)(d- λ)［λ3+(a+1)λ2+

(a-ac+r)λ +ar］ =0

由Routh－Hurwitz定理可知:當r＞2970時，系統將穩定于S0點;當r＜2970時，S0點是不穩定平衡點，系統可能產生混沌、超混沌吸引子、擬周期運動狀態或周期運動狀態.

3 系統分岔分析

眾所周知，在已有混沌方法中只有Lyapunov指數方法可以準確判定系統是處于混沌還是超混沌，因此假設系統(2)的Lyapunov指數分別為λLi(i=1，2，3，4，5)且滿足 λL1＞ λL2＞ λL3＞λL4＞λL5，由穩定性理論可知:λL5＜λL4＜λL3＜λL2＜λL1＜0時，系統處于穩定點;當λL5＜λL4＜λL3＜λL2＜λL1=0時，系統處于周期狀態;當λL5＜λL4＜λL3＜0和λL2=λL1=0時，系統處于擬周期狀態;當λL5＜λL4＜λL3＜0，λL2=0，λL1＞0和λL5+λL4+λL3+λL2+λL1＜0時，系統處于混沌狀態;當λL5＜λL4＜0，λL3=0，λL2＞0，λL1＞0和λL5+λL4+λL3+λL2+λL1＜0時，系統處于超混沌狀態.我們采用Wolf相空間重構法和四階龍格－庫塔法計算系統(2)的5個lyapunov指數，取系統初始值為(1，1，1，1，1)，固定系統參數 a=10，b=，c=28，d=-1，調整參數r的范圍為0＜r≤35，系統隨著參數r變化的lyapunov指數譜和狀態x對應的分岔圖如圖1(a)所示.

根據圖1(b)和圖1(c)所示，可以得出系統(2)隨參數r變化的動力學行為如下:當0＜r＜28時，系統具有2個正的Lyapunov指數，即λL1，λL2＞0，系統處于超混沌運動狀態;當28＜r＜50時，系統處于擬周期運動狀態;當50≤r＜2970時，系統處于周期軌道;當r＞2970時，系統處于平衡點.

圖1 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，0 ＜r＜35時，系統(2)的分岔圖和Lyapunov指數譜

圖2 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=10 時系統(2)處于超混沌狀態時的相軌跡圖

圖3 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=30 時系統(2)處于擬周期狀態時的相軌跡圖

圖4 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=52 時系統(2)處于周期狀態時的相軌跡圖

4 結語

本文在四維自治動力學系統中加入線性反饋控制器構造出五維自治超混沌動力學系統，通過對系統的動力學耗散性、平衡點性質和分岔行為等分析發現:1)五維超混沌系統具有很寬的使系統處于超混沌狀態的特征參數范圍，僅有很小的參數范圍使系統處于混沌狀態，在實際應用中可以避免系統誤差產生的混沌信號和超混沌信號而難以區分的困難;2)系統從平衡點到周期狀態、擬周期狀態、混沌狀態，進而到超混沌狀態，過程十分明顯，沒有出現互相交替的現象，是一個完美的動力學演變過程，處于擬周期狀態的參數范圍較大;3)這種方法對其它要產生較寬超混沌范圍和較小的混沌范圍的系統具有一定的借鑒意義.

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