線性緩沖算子及其矩陣表示研究

劉衛鋒，何 霞

(鄭州航空工業管理學院數理系，河南 鄭州 450015)

針對灰色預測建模中存在波動較大數據問題，文獻［1］中首度提出了緩沖算子的概念和公理系統，并對緩沖算子的特性進行研究，開啟了利用緩沖算子研究波動數據的大門.文獻［2－11］在文獻［1］的基礎上，構造了許多不同的強化緩沖算子和弱化緩沖算子，并對其性質進行了更深入的研究，揭示了一些緩沖算子之間的內在聯系.文獻［12］構造了一類線性弱化緩沖算子和強化緩沖算子，并從矩陣的角度研究它們的復合運算.本文在上述研究基礎上，將文獻［12］中涉及的線性緩沖算子概念一般化，并給出嚴格的數學定義，然后定義了線性緩沖算子矩陣的概念，最后給出了利用線性緩沖算子矩陣對線性緩沖算子類型進行判斷的方法.

1 線性緩沖算子及其矩陣表示

定義1 設X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，X2=(x2(1)，x2(2)，…，x2(n))是任意兩個非負序列，D是一個緩沖算子，λ是任意非負實數.稱D是一個線性緩沖算子，若D滿足條件

(1)(X1+X2)D=X1D+X2D;(2)(λX1)D= λ(X1D).

顯然，線性緩沖算子本質上就是線性變換.將X1，X2看成具有n個分量的向量，則定義1中的兩個條件告訴我們，線性緩沖算子保持向量的加法和數量乘法.

定義2 設 X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，X2=(x2(1)，x2(2)，…，x2(n))是任意兩個非負序列，D是一個緩沖算子，λ1，λ2是任意非負實數.稱D是一個線性緩沖算子，若D滿足條件

(3)(λ1X1+λ2X2)D= λ1(X1D)+λ2(X2D).容易證明，定義1和定義2是等價的.對定義2中的條件(3)作數學歸納法，容易得到

其中 λ1，λ2，…，λm是任意非負實數.

定義3 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是系統行為數據序列，D是一個線性緩沖算子.稱D是一個線性弱化緩沖算子，若緩沖序列XD比原始行為數據序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減少.

定義4 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是系統行為數據序列，D是一個線性緩沖算子.稱D是一個線性強化緩沖算子，若緩沖序列XD比原始行為數據序列X的增長速度(或衰減速度)增強或振幅增大.

定義5 設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是系統行為數據序列，D是一個線性緩沖算子，XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則 有 XD=(x(1)，x(2)，…，x(n))A .其中 A=(aij)nn，稱A為線性緩沖算子D的線性緩沖算子矩陣.

例1 設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是系統行為數據序列，各時點的權重為ω =(ω1，ω2，…，ωn)，ωn≠0，ωk≥ 0(k=1，2，…，n)，XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，其中 x(k)d1)，k=1，2，…，n，則 D1是線性弱化緩沖算子.

證明 設X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，X2=(x2(1)，x2(2)，…，x2(n))是任意兩個非負序列.文獻［3］中已經證明了D1是弱化緩沖算子.故只需證明D1是一個線性緩沖算子即可.

由定義1可知，D1是一個線性緩沖算子.故D1是一個線性弱化緩沖算子.其線性緩沖算子矩陣為:

說明:(1)線性緩沖算子矩陣A與線性緩沖算子D的作用完全相同，只是表達形式不同:一個是公式表示，一個為矩陣表示.故本質上它們是一一對應關系.

(2)線性緩沖算子必須滿足條件x(n)d=x(n)，故線性緩沖算子矩陣的一個明顯特征是，其最后一列元素除ann=1之外，其余全為零.

(3)設原始序列為 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，顯然

其中E為單位矩陣，即恒等線性算子矩陣為單位矩陣E.

例2 設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是系統行為數據序列，XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2).其中x(k)，k=1，2，…，n，則 D2是線性弱化緩沖算子.

證明 例1中的ω =(1，…，1)時，線性弱化緩沖算子D2就是D1的特殊情況，故D2是線性弱化緩沖算子.

例3 設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是系統行為數據序列，XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，其中

則當X為單調增加序列或單調衰減序列時，D3是線性強化緩沖算子.

證明 文獻［1］中已經證明D3是強化緩沖算子，只需再證其是線性緩沖算子即可.

設 X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，X2=(x2(1)，x2(2)，…，x2(n))是任意兩個非負序列，則

控制系統使用增量式編碼器來獲取同步信號，編碼器和切刀盤連接，編碼器旋轉一周，切刀切割一支雙倍長煙，選擇256線編碼器。控制系統采集A向脈沖和Z向脈沖，A相脈沖用于采集點同步和計數，Z向脈沖用于確定采集點在煙支上的位置。每收到一個Z向脈沖，就將A相脈沖值清零。

［λx1(n)］d3= λx1(n)= λ·［x1(n)d3］.故D3是線性強化緩沖算子，且其算子矩陣為

2 線性緩沖算子類型的矩陣判斷

由于線性緩沖算子矩陣與線性緩沖算子存在一一對應關系，因此線性緩沖算子是弱化緩沖算子還是強化緩沖算子的判斷也可使用線性緩沖算子矩陣來進行.

設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是非負遞增序列，D是一個線性弱化緩沖算子，

XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)=(x(1)，x(2)，…，x(n))A .

因為D是線性弱化緩沖算子，且X是非負遞增序列，故有 x(k)d ≥ x(k)，k=1，2，…，n-1，x(n)d=x(n);而x(k)d=)，因此x(k)d≥x(k)等價于+(akk-1)x(k))≥0，k=1，2，…，n-1 .

于是，得到利用線性緩沖算子矩陣判斷線性緩沖算子類型的方法:

XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)=(x(1)，x(2)，…，x(n))A.

同理可以得到:

定理2 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是非負衰減序列，D是一個線性緩沖算子，且XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)=(x(1)，x(2)，…，x(n))A.

是線性緩沖算子矩陣，則:

定理3 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))是非負振蕩序列，D是一個線性緩沖算子，且XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)=(x(1)，x(2)，…，x(n))A.

(1)D是線性弱化緩沖算子時的充要條件:.

(2)D是線性強化緩沖算子時的充要條件:

同理可證:

(2)證明同(1)類似.

例4 設X=(1，1.5，2.5，3)是系統行為數據序列，D2是一個線性緩沖算子，其中x(k)d2=(i)，k=1，2，…，n，則 XD2=(1，1.5，2.5，3)A2，其中

3 結論

文章在定義線性緩沖算子及線性緩沖算子矩陣的基礎上，給出了利用線性緩沖算子矩陣來判斷線性緩沖算子類型的方法，從而打開了利用矩陣來研究線性緩沖算子的大門，并為如何利用矩陣方法構造更多的線性緩沖算子以及利用矩陣運算表示線性緩沖算子的復合運算奠定了數學基礎，同時對利用矩陣方法研究非線性緩沖算子性質和構造也有一定的啟發意義.

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