一道三角證明題的辯證思考

163316 黑龍江省大慶實驗中學 侯典峰

唯物辯證法認為，質量互變規律、對立統一規律和否定之否定規律是支配自然界、社會和人類思維最一般的規律.數學中的辯證思想就是遵循這些規律，對數學對象矛盾雙方的相互聯系和相互制約關系認識的思維產物.對立統一思想是指人們認識事物辯證發展的一種思維法則，一分為二是對立統一思想的重要表現形式，數學中的一分為二思想，指的是在觀察、分析、處理數學問題時，要多側面，多角度、全方位地全面考慮，不僅要看到問題的一面，還要看到問題的另一面及這兩個方面在一定條件下是可以相互轉化的，只有運用一分為二的思想來觀察、分析、處理，才不會使我們的視野局限于一隅，使我們思維更加開闊.在教學中，注重引導學生學會用辯證思想去觀察分析事物，研究和解決問題，既可以為學生逐步確定辯證唯物主義世界觀奠定基礎，同時也對他們學習數學知識和提高思維能力有很大幫助.

下面是筆者對一道三角證明題的直接與間接的論證，正面與反面的思考，多角度、全方位的探究.整理成文，與大家分享.

題目已知α，β均為銳角，若sin α+()β=2sinα，則α＜β.

分析 發現題目條件給得比較少，第一感覺正面下手入口難尋找，應用正難則反策略來思考，反證法的確很巧.

證明1 若 α≥β，由 α，β 均為銳角，可知0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且 sinα≥sinβ，則

這與sin α+()β=2sinα矛盾，故α＜β.

證明2 若 α≥β.由 α，β，均為銳角，可知 0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且 sinα≥sinβ.

一方面sin α+()β=2sinα≥sinα+sinβ;

證明3 若 α≥β，則2α≥α+β，又 α，β 均為銳角，函數y=cosx在0，()π上單調遞減，

因此cos2α≤cos α+()β，即1-2 sin2α≤cos α+()β，

又α，β均為銳角，0＜α+β＜π，cos α+()β≠1，與先前推導出的cos α+()β=1相矛盾，故α＜β.

點評 我們知道，直接從原命題的條件逐步推得結論成立，這種證明方法叫直接證明，而間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法，是從反面的角度思考問題的證明方法.具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明.

反證法的步驟：

(1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立;

(2)從這個假設出發，通過推理論證，得出矛盾;

(3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.

可能出現矛盾四種情況：

①與題設矛盾;

②與反設矛盾;

③與公理、定理矛盾

④在證明過程中，推出自相矛盾的結論.

證明1中屬于第①種情況，證明2、證明3屬于第④種情況.

反思 回顧上述解法可發現，盡管條件與結論比較簡單，若能找到合理切入點，推出矛盾角度還是比較多的，一個想法突然顯現，此題證明能否選正面?

經反復思考，琢磨，得到如下幾個直接證明.

證明 4 因為α，β均為銳角，所以0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，由題意可知

又sinα( cosβ-1)＜0，所以cosαsinβ-sinα＞0，故可得sinα＜cosαsinβ＜sinβ，而α，β均為銳角，故α＜β.

結合正弦函數的單調性可知α+β＞2α，α＜β.

證明9 以原點為圓心，分別以1，2為半徑作兩個圓，在半徑為2的第一象限內的圓弧上取一點 Q，使∠POQ=β，

則易知 P(2cosα，2sinα)，

證明10 作△ABC，∠A=α，∠B=β，

又因為 sin(α+β)=2sinα，所以 c=2a，

按照一定的方向和路線，運用邏輯思維的方式，對問題進行一定范圍內的縱深挖掘的思考方法稱為直接思考，變換一下思維角度，從相反的方向去思考的一種思維方法稱為逆向思維，對于某些問題，有時，若能改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能變得比較簡單，解決變得輕而易舉，有著意想不到的效果;有時，若能善于觀察、善于聯想，善于發現，深入思考后直接求解也可以是快速有效，解答簡潔、優美、自然，在解決數學問題時，若能對問題多做一些辯證思考，用一分為二的思想看問題，就能創設更加廣闊的思維空間，提高認識數學問題的層次、拓展數學的視野，優化思維品質，實現從有限(方法)到無限(問題)的飛躍.

1 侯典峰.一道三角題的直接證明［J］.中學數學.2009，3(上)

2 侯典峰.再談一道三角題的證明［J］.中學數學.2011，1(上)

3 侯典峰.化冰冷的美麗為綻放的絢麗——例談題解研究［J］.數學通訊.2011，1、2(上)

4 沈文選，楊清桃.數學思想領悟［M］.哈爾濱工業大學出版社.2008，1