一道三角證明題的辯證思考

163316 黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué) 侯典峰

唯物辯證法認(rèn)為，質(zhì)量互變規(guī)律、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律和否定之否定規(guī)律是支配自然界、社會(huì)和人類思維最一般的規(guī)律.數(shù)學(xué)中的辯證思想就是遵循這些規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象矛盾雙方的相互聯(lián)系和相互制約關(guān)系認(rèn)識(shí)的思維產(chǎn)物.對(duì)立統(tǒng)一思想是指人們認(rèn)識(shí)事物辯證發(fā)展的一種思維法則，一分為二是對(duì)立統(tǒng)一思想的重要表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)中的一分為二思想，指的是在觀察、分析、處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，要多側(cè)面，多角度、全方位地全面考慮，不僅要看到問題的一面，還要看到問題的另一面及這兩個(gè)方面在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，只有運(yùn)用一分為二的思想來觀察、分析、處理，才不會(huì)使我們的視野局限于一隅，使我們思維更加開闊.在教學(xué)中，注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用辯證思想去觀察分析事物，研究和解決問題，既可以為學(xué)生逐步確定辯證唯物主義世界觀奠定基礎(chǔ)，同時(shí)也對(duì)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和提高思維能力有很大幫助.

下面是筆者對(duì)一道三角證明題的直接與間接的論證，正面與反面的思考，多角度、全方位的探究.整理成文，與大家分享.

題目已知α，β均為銳角，若sin α+()β=2sinα，則α＜β.

分析 發(fā)現(xiàn)題目條件給得比較少，第一感覺正面下手入口難尋找，應(yīng)用正難則反策略來思考，反證法的確很巧.

證明1 若 α≥β，由 α，β 均為銳角，可知0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且 sinα≥sinβ，則

這與sin α+()β=2sinα矛盾，故α＜β.

證明2 若 α≥β.由 α，β，均為銳角，可知 0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且 sinα≥sinβ.

一方面sin α+()β=2sinα≥sinα+sinβ;

證明3 若 α≥β，則2α≥α+β，又 α，β 均為銳角，函數(shù)y=cosx在0，()π上單調(diào)遞減，

因此cos2α≤cos α+()β，即1-2 sin2α≤cos α+()β，

又α，β均為銳角，0＜α+β＜π，cos α+()β≠1，與先前推導(dǎo)出的cos α+()β=1相矛盾，故α＜β.

點(diǎn)評(píng) 我們知道，直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立，這種證明方法叫直接證明，而間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法，是從反面的角度思考問題的證明方法.具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明.

反證法的步驟：

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立;

(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾;

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.

可能出現(xiàn)矛盾四種情況：

①與題設(shè)矛盾;

②與反設(shè)矛盾;

③與公理、定理矛盾

④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論.

證明1中屬于第①種情況，證明2、證明3屬于第④種情況.

反思 回顧上述解法可發(fā)現(xiàn)，盡管條件與結(jié)論比較簡單，若能找到合理切入點(diǎn)，推出矛盾角度還是比較多的，一個(gè)想法突然顯現(xiàn)，此題證明能否選正面?

經(jīng)反復(fù)思考，琢磨，得到如下幾個(gè)直接證明.

證明 4 因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，所以0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，由題意可知

又sinα( cosβ-1)＜0，所以cosαsinβ-sinα＞0，故可得sinα＜cosαsinβ＜sinβ，而α，β均為銳角，故α＜β.

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知α+β＞2α，α＜β.

證明9 以原點(diǎn)為圓心，分別以1，2為半徑作兩個(gè)圓，在半徑為2的第一象限內(nèi)的圓弧上取一點(diǎn) Q，使∠POQ=β，

則易知 P(2cosα，2sinα)，

證明10 作△ABC，∠A=α，∠B=β，

又因?yàn)?sin(α+β)=2sinα，所以 c=2a，

按照一定的方向和路線，運(yùn)用邏輯思維的方式，對(duì)問題進(jìn)行一定范圍內(nèi)的縱深挖掘的思考方法稱為直接思考，變換一下思維角度，從相反的方向去思考的一種思維方法稱為逆向思維，對(duì)于某些問題，有時(shí)，若能改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能變得比較簡單，解決變得輕而易舉，有著意想不到的效果;有時(shí)，若能善于觀察、善于聯(lián)想，善于發(fā)現(xiàn)，深入思考后直接求解也可以是快速有效，解答簡潔、優(yōu)美、自然，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，若能對(duì)問題多做一些辯證思考，用一分為二的思想看問題，就能創(chuàng)設(shè)更加廣闊的思維空間，提高認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的層次、拓展數(shù)學(xué)的視野，優(yōu)化思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從有限(方法)到無限(問題)的飛躍.

1 侯典峰.一道三角題的直接證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué).2009，3(上)

2 侯典峰.再談一道三角題的證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué).2011，1(上)

3 侯典峰.化冰冷的美麗為綻放的絢麗——例談?lì)}解研究［J］.數(shù)學(xué)通訊.2011，1、2(上)

4 沈文選，楊清桃.數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟［M］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.2008，1