關于一個向量等式的聯想

430050 武漢第二十三中學 何同海

自從向量內容加入新教材以來，一直是高考的重要對象，而且隨著廣大教學教研者的關注和不斷深入研究，我們對于向量及向量方法的理解越來越深刻.筆者在閱讀和學習別人的研究成果的同時，也得出了一些啟示，現整理成文和廣大讀者分享.

首先我們來看一個大家熟悉的向量等式和它的證明.

分析 向量等式中含有三角形面積，自然聯想到正弦定理面積公式，考慮到等式中出現的量的對稱性，若取出單位向量，則等式得到有效轉化.

原命題可轉化為證：e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0.

從而有e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0，故原命題成立.

由等式的結構，很容易聯想到三角形五“心”的充要條件，通過對比，可發現以下結論.

聯想1 若O為△ABC的重心，則

(這是三角形重心的充要條件)

聯想2 若O為△ABC的內心，則

(a，b，c為三角形 ABC 三個內角 A，B，C 的對邊，r為三角形ABC內切圓的半徑)

(這是三角形內心的充要條件)

聯想3 若O為銳角△ABC的外心，則

(這可以看成是三角形外心的充要條件.值得注意的是考慮到與引例的一致性，我們將條件強化為銳角三角形，實際上，對于一般的三角形，此結論仍然成立.讀者可自己證明直角三角形和鈍角三角形的情況.)

下面，我們嘗試用我們得到的方法和結論解決一些向量問題.

說明 方法1是大家解決這道題的通常辦法，方法2利用本文引例更加直觀，一目了然.

說明 方法1利用角平分線的向量表示方法，利用平面向量基本定量，得到此值.方法2利用本文聯想更有推廣價值.

由聯想3得

說明 方法1利用外心的性質反復構造關于待求量的方程，計算上較為繁瑣.方法2利用本文聯想3解決起來順理成章，而且基本無計算.

法1 分析：由條件結構聯想到向量的分解，再利用面積公式尋找關系，過P作AC，AB的平行線交AB于點M，交AC于點N，則有

聯想本引理直接得

說明 方法利用向量的分解找到了P點的相對位置，確定了M，N邊上的分比，從而發現了小三角形面積和大三角形面積的關系.方法2利用本文引例，采用統一的解決模式，很快找到了大小三角形的關系.

一個人力量是有限的，希望讀者通過對本文的閱讀，啟發更多的智慧火種，將對本問題的研究不斷深入下去，得出更多的研究成果.