一個不等式試題的研究

●王紅權 潘一力 (杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

在2010年浙江省第1次五校聯考自選模塊試題(簡稱1B試題)中，“數學史與不等式選講”模塊的試題是：

筆者經研究發現，該試題有多種解法，并得到了推廣后不等式的上界和下界，現整理如下，供同行參考.

證法1 (分析法)設a+4b=t，則原不等式等價于

式(1)顯然成立.

顯然成立.令 t=a+4b，得

又由均值不等式知

上述2個式子相加即得所證不等式.

證法3 (利用Cauchy不等式)因為

筆者研究發現，該不等式可推廣為命題1.

命題1 對任意的正數a，b，有

(2008年浙江大學自主招生數學試題)

證明由Cauchy不等式知

寧波大學陳計老師把該不等式加強為：

根據命題2的證明，容易推廣得到

于是又得到如下推廣.

命題3 對任意的正數a，b，n∈N+，有下面不等式成立：

命題4 對任意的正數a，b，n∈N+，有下面不等式成立：

筆者在研究過程中，曾得到：

前面等號當且僅當b=0時成立，后面等號當且僅當ab=0時成立.

推廣到n元后，可得

命題6 對任意的非負實數數a，b(a，b不同時為0)和正實參數xi(i=1，2，3，…，n)，不等式

成立.前面等號當且僅當b=0時成立，后面等號當且僅當ab=0時成立.

證明不等式的左邊可以由Cauchy不等式得到，下面只證不等式的右邊.利用數學歸納法證明：

顯然成立，且當ab=0時等號成立.

(2)假設當n=k(k≥2)時，命題成立，即

顯然成立，且當ab=0時等號成立.故當n=k+1，命題成立.

綜上所述，對任意的n≥2，n∈N+，原不等式都成立.