一個電磁感應問題的探討
——切割磁感線的金屬棒究竟在做何種運動？

劉明祖

（煙臺第一中學 山東 煙臺 264001）

電與磁及其相互轉化是自然界最奇妙的現象之一，也是當今人類獲得能量的主要途徑之一.溫暖的萬家燈火、七彩的都市霓虹、轟鳴的機器運轉……無不依賴電子在導線中靜靜地流淌.縱觀電磁學，可以發現其中始終貫穿著一個不變的主題——變化、運動.電子的運動、帶電體的運動、磁場的變化、電流的變化……單是這“運動”，就已是形式無限，變化千般.在學習“電磁感應”這一章中接觸到許多金屬棒的運動，如圖1所示就是其中簡單的一例.筆者感覺其運動形式值得深入定量探討，特作解析如下.

如圖1所示，光滑導軌M1N1，M2N2間連有定值電阻，阻值為R，導軌寬度為L.一質量為m的金屬棒ab架在導軌上，不計導軌與棒的電阻和一切摩擦，設金屬棒的初速度為零.以ab棒的初始位置為坐標原點，水平向右為x軸的正方向建立坐標系.現將一恒力F作用在ab上，且F的方向為x軸正方向.下面分析棒ab的運動形式.

圖1

由法拉第電磁感應定律，金屬棒切割磁感線產生感應電動勢

回路中的電流為

金屬棒所受的安培力是

由牛頓第二定律，有

聯立（1）～ （4）式，得

另一方面，有

由（5）、（6）式，得

以上各式都是在時刻t成立的瞬時表達式，v為瞬時速度，a為瞬時加速度.

由（7）式，得

代入（8）式，得

對（9）式兩邊積分

整理，得

故加速度為

設t時刻金屬棒的位置坐標（即位移）為x，則由

對（12）式兩邊積分，得

至此已得到金屬棒運動過程中速度、加速度和位移關于t的函數關系式，整理如下.

圖2

上式是假定存在勻速直線運動階段時成立的式子，這表明圖像的漸近線的確代表了那個假想的“勻速直線運動”狀態.

綜上所述，串聯定值電阻的金屬棒在勻強磁場中受恒定外力作用時，如果忽略金屬棒與導軌的電阻以及一切摩擦，那么金屬棒將做一個加速度以零為極限不斷減小，速度以為極限不斷增大的運動，即一個加速度不斷減小的加速直線運動.金屬棒的位移、速度、加速度的瞬時值都是時刻t的指數型函數.當時間趨于無窮大時，金屬棒的運動無限接近于勻速直線運動，但永遠不會做勻速直線運動.

在高中階段處理此類模型時，一般認為勻速直線運動階段存在；然后綜合運用動能定理或能量轉化關系求解相關問題.上面運用力學方法來研究這個問題，把粗略看待的“過程”精細化，得到的認識更加清晰.通過以上推導，對楞次定律中所說的“阻礙導體運動”有了更深的理解.在電磁感應中，磁場力以一種“潤物細無聲”的作用方式來一點點地消磨外力施加給導體的加速度.“存在勻速段”的觀點是近似粗略的、有精度限制的.“漸近于勻速”的觀點是準確的.