旋轉磁場電動式磁懸浮裝置的狀態方程與懸浮力控制

朱 熙 范 瑜 李 碩 秦 偉 呂 剛

（北京交通大學電氣工程學院 北京 100044）

1 引言

磁懸浮技術由于其無機械接觸的優勢，在交通運輸，機器人，金屬加工等領域具有廣闊的前景，目前國際上正在應用和研究的磁懸浮方案各具特色，但尚未出現較成熟的能夠實現靜止穩定斥力式磁懸浮的系統。

為實現這一目的，通過研究國際上現有磁懸浮方案，本文提出了一種旋轉磁場電動式磁懸浮裝置，該方案結構如圖1所示。

在水平放置的圓環狀鐵心圓周方向上對稱放置線圈繞組，向線圈繞組中通入三相交變電流，在氣隙中產生圓周旋轉磁場，與次級導體中感應出的渦流磁場相互作用產生懸浮力。相對其他主要的磁懸浮方案，該方案具有以下優點:

圖1 裝置示意圖Fig.1 Rotating field electrodynamic levitation device

（1）采用電動式斥力磁懸浮，屬于固有的穩定系統，不需要復雜的控制系統也能維持懸浮狀態，避免了電磁式磁懸浮控制策略復雜的問題[1]。

（2）氣隙磁場相對初級做圓周運動，在初級靜止的情況下也能夠產生懸浮力，避免了以日本超導磁懸浮為代表的一類電動式磁懸浮技術在靜止時不產生懸浮力，需要支撐的問題。

（3）相對于日本九州大學藤井教授提出了立式永磁磁輪方案[2]和美國威斯康星大學的Lipo教授提出的臥式磁輪方案[3]為代表的永磁磁輪方案，該設計不存在機械旋轉機構，可以避免機械損耗、機械振動和陀螺儀效應；能夠通過改變初級電流的大小和頻率方便地改變旋轉磁場的幅值和轉速，懸浮力控制更加簡單；不存在永磁體安裝問題和掉落危險。相對以上兩種永磁磁輪方案設計，本文提出的磁懸浮裝置又可稱為電磁磁輪。

為使這一裝置能夠輸出穩定的懸浮力，必須準確分析裝置的電磁關系和力特性，由于該裝置結構的特殊性，目前尚無專門的分析工具，必須建立一套新的分析方法來計算其力特性以指導該電磁懸浮系統的設計及控制。

裝置結構與單邊鋁轉子盤式感應電機類似，繞組沿鐵心徑向放置，在氣隙中產生軸向磁通。這樣的特殊結構導致磁路長度、齒寬、等效氣隙長度以及磁路的飽和程度均隨半徑的增加而變化，使氣隙磁場沿徑向分布不均勻。工作氣隙長度較大，且會隨工作狀態變化，很大程度上影響了裝置性能[4-6]。

2 裝置電磁模型與狀態方程

2.1 裝置電磁模型

本文所構造的電磁模型是基于分析盤式電機常用的分環計算方法[6]，將懸浮裝置沿徑向等分為 a個環，對每個環沿圓周方向進行二維電磁場分析。

分析過程中各環極距分別采用其平均極距計算，其余參數如槽寬、鐵心高度等均相等；假設次級寬度無窮大；抽象地認為各環之間電流、磁通等量以定子槽為基準仍然連續。

2.2 裝置電磁場分析

懸浮裝置次級只有一層鋁導體板，不存在鐵磁性材料背板，故次級磁路開斷，傳統的解析法可以較為準確地求解系統內部的電磁場分布，但是在求解磁路開斷的問題時邊界條件設定困難，且求解過程和結果表達式較為復雜[7-8]，故本文采用了用于分析實心轉子電機的多層行波磁場理論方法。該方法利用電磁場在各不同介質構成的磁場區域中的傳遞矩陣，通過求解不同介質分界面上的磁場分布方程組分析整個電磁場區域的磁場分布[9]。

圖2為電磁模型任意環沿圓周方向的側面展開圖，求解坐標系及各區域的定義。

圖2 側面展開圖與求解坐標系Fig.2 Side elevation and coordinate system

區域1為初級鐵心，采用高導磁率材料，區域3為次級導體，本文采用鋁材料，區域2和4分別為初、次級之間的第一氣隙及次級之后的第二氣隙，為空氣介質。實際計算中，區域2和3都分別被進一步分割為10層以上以提高計算準確性。

假設定、轉子之間無水平相對運動，定子繞組電流均沿z方向流動且三相電流對稱。由于初級鐵心寬度與極距之比較小，且受極距影響的各電磁場量隨半徑增大變化明顯，橫向邊端效應的影響較為突出，在氣隙較大時會造成10%以上的誤差，可通過引入等效氣隙系數的方式部分抵消靜態橫向端部效應的影響，提高計算精度[7,9-10]。

g—電機氣隙長度。

定子繞組中的電流在定子表面形成的等效行波電流層為

式中 m—電機相數；

W1—定子繞組匝數；

kW1—定子繞組系數；

I1—定子相電流有效值；

p—電機極對數；

τ—電機極距；

ω—定子電流頻率；

J1—行波電流層幅值；

k —系數，k =π/τ。

由于模型中各部分無水平轉動，故初級磁場水平方向同步速率為初級電流基波頻率ω，多層模型各層轉差率sn=1。

則電磁波在多層模型中各區域的透入深度

式中 n—多層模型中的區域編號。

可以推導得出區域n下表面磁感應強度法向分量和磁場強度切向分量為

式中，c1，c2為未知數，βn=γn/(jkμn)。

同樣，在區域n上表面Bn，Hn可表示為

式中 Dn—區域n厚度。

則上下兩表面的場量間存在如下關系

式中 Tn—區域n的轉移矩陣。

對位于模型最下層的初級鐵心區域 1，在厚度D0達到足夠大的值時，B0趨近于0，則存在

在位于模型最上層的第二氣隙區域 4，由于在無窮遠處B4=0，則可以得出

由于在分界面1存在表面電流層，對式（9）做出相應修正

求解式（9）～式（12）構成的方程組即可得到電機內部的磁場分布。

3 等效電路和狀態方程

3.1 T形等效電路

利用對各分界面的波印亭矢量積分可以得到裝置多層模型各區域儲存的磁場能量，從而得到裝置的T形等效電路[11-13]，如圖3所示。

圖3 懸浮裝置T形等效電路Fig.3 T-model equivalent circuit of levitation device

懸浮裝置初級繞組的端部部分較長，端部繞組磁通引起的動態橫向端部效應對激磁電抗和次級電阻的影響不容忽視，故在T形等效電路參數中加入激磁電抗修正系數 Cx和次級電阻修正系數 Cr提高模型精確度[10-14]，圖3中其他等效電路變量與參考文獻[11]相同。

必須指出的是，由于懸浮裝置不存在水平方向轉動，而氣隙長度隨次級懸浮高速的變化而改變，故等效電路參數與轉差率無關，在初、次級結構已確定的條件下，主要影響因素為氣隙長度。

3.2 狀態方程

通過對等效電路參數的數學變換，將ABC三相靜止坐標系下的磁鏈方程轉化為 dq兩相同步旋轉坐標系下的磁鏈方程[15]

式中，Lmc=3CxLm/2，Ls=Lmc+L1，Lr=Lmc+L2。

懸浮裝置的次級運動方向為豎直方向，不存在水平轉動，且式（13）中的磁鏈參數與氣隙長度相關，故為使狀態方程能夠有效描述該磁懸浮系統的工作狀態，需要在式中加入y方向上的運動方程。

坐標原點位于初級的上表面，故氣隙長度與次級在y軸的位置數值方面相等，則y方向的運動方程為

式中 Fl—裝置產生的懸浮力；

m—次級質量；

gk—重力加速度。

與式（13）聯立得到系統的狀態方程

用上式描述裝置的運行狀況時，次級y方向的位置信號Y不可或缺，裝置的懸浮力由氣隙磁場在次級中感應出的渦流與氣隙磁場作用產生，上式中的懸浮力Fl主要受q軸磁鏈的影響，故iqs為其函數表達式主要變量[16]。電壓和磁鏈方程中的變量定義與文獻[15]相同，下標s，r分別表示初級和次級側的變量。

4 懸浮力控制

對傳統的矢量控制策略進行部分修改，增加了懸浮力控制環節；轉速指令信號由一恒定的零值信號代替，以滿足初、次級間無相對轉動的條件，磁鏈觀測器采用轉子磁場定向觀測。基于矢量控制的懸浮力控制框圖如圖4所示。

圖4 懸浮力控制框圖Fig.4 Levitation control diagram

主要反饋信號為懸浮裝置的三相端電壓和y方向位置信號Y，將位置信號Y與次級高度給定信號Y*比較后送入PI調節器得到懸浮力Fl目標值，根據式（15）的函數關系進行信號變換得到q軸電流給定信號，與q軸的采樣信號比較后送入PI調節器，得到q軸電壓控制信號，經過2/3轉換器變成三相電壓控制信號驅動變頻器控制懸浮裝置。

5 仿真與實驗

圖5為旋轉磁場電動式磁懸浮裝置樣機實驗平臺。樣機初級鐵心內、外徑分別為60mm、100mm，鐵心高 25mm，初級繞組采用4極單層鏈式繞組，每相串聯匝數600，次級為2mm厚鋁板，面積符合次級寬度無窮大假設條件。

圖5 旋轉磁場電動式磁懸浮裝置樣機Fig.5 Rotating field electrodynamic levitation device prototype

利用Ansoft公司的有限元分析軟件Maxwell12軟件對樣機的氣隙磁場進行 3D時步有限元仿真，次級表面磁場分布情況如圖6所示。

圖6 次級表面磁通分布有限元計算結果Fig.6 Field distribution on secondary surface FE calculation result

得到的在初級相電流1A，頻率50Hz激勵條件下，次級表面磁通幅值為0.0234T，與計算值0.0215T比較接近，可認為計算結果是可信的。

通過空載試驗和短路實驗可得到T形等效電路主要參數，見下表。計算值與實測值之間的誤差較小，證明計算得到的等效電路參數是可靠的[17]。

表 T形等效電路參數測量與計算結果Tab.T-type equivalent circuit parameters experimental and calculating results

圖7表示懸浮裝置在初級1A，50Hz條件下穩態運行時懸浮力隨氣隙長度變化的情況，懸浮力隨氣隙呈近似線性反比關系，由于計算過程中忽略了氣隙磁場的齒諧波和高次諧波成分，計算值略高于實驗值，二者趨勢相同[18]。

圖7 懸浮力與氣隙長度關系曲線Fig.7 Curve between lift force and air-gap length

給定 y方向位置斜坡指令信號，控制次級從1mm高度的有物理支承位置起浮，目標高度為3mm。圖8為次級所受合力，以加速度信號形式經過10倍差分放大器輸入。

圖8 懸浮力隨時間變化曲線Fig.8 Lift force curve

圖9、圖10為次級豎直方向的速度v和位置y，從圖中可以看出，次級y方向加、減速平穩，約25ms后達到穩定懸浮點，懸浮位置無超調，穩態靜差小，證明本文建立的模型推導出的裝置參數用于控制裝置的懸浮是準確可靠的。

圖9 豎直方向速度曲線Fig.9 Vertical direction speed curve

圖10 豎直方向位置曲線Fig.10 Vertical direction position curve

6 結論

本文提出了一種新的電動式磁懸浮裝置方案，利用電磁理論和電機理論建立了較為準確的懸浮裝置物理模型和數學模型，并基于次級磁場定向控制策略，設計了懸浮力解耦控制策略，搭建了磁懸浮裝置矢量控制系統，能夠控制裝置平穩起動和穩定懸浮，實現了穩定的靜止電動式斥力磁懸浮。

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