軸向主動磁軸承的模糊自抗擾控制

盧立戶，劉海娟，諸德宏，徐榮

( 1. 江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212013；2. 西門子變壓器有限公司，濟南 250022 )

磁懸浮軸承[1-2](簡稱磁軸承)在航空航天、機械加工以及醫療等領域具有廣泛的應用前景[3-4]，控制系統的好壞直接影響到整個系統的性能，常用的控制方法有：變參數PID控制、模糊控制[5]、神經網絡控制[6]、自適應控制和變結構控制[7]以及各種方法的綜合等。

自抗擾控制器(ADRC)是一種改進型非線性PID控制器，通過安排過渡過程解決了“快速性和超調之間的矛盾”；非線性擴張狀態觀測器的使用實現了不用積分反饋也能達到“無靜差”，避免了積分反饋的副作用；該控制器在對象參數發生變化或遇到不確定性擾動時能得到很好的控制效果，因此，具有很強的適應性、魯棒性和抗干擾性[8]。根據自抗擾控制器的基本原理，針對軸向主動磁軸承設計了自抗擾控制系統，并對該系統進行了階躍響應、抗干擾性和魯棒性試驗，而且還引入了模糊邏輯控制對ADRC非線性模塊進行參數整定。

1 軸向主動磁軸承的結構與數學模型

1.1 結構及工作原理

軸向主動磁軸承的基本結構如圖1所示，由軸向控制線圈、軸向定子和吸力盤等組成。定子鐵芯采用硅鋼片疊壓而成，轉子(吸力盤)是一質量為m的整體鋼盤，置于2個軸向定子之間。圖1中帶箭頭的虛線表示軸向控制線圈通電后產生的控制磁通，在軸向定子、軸向氣隙和轉子之間構成回路。當轉子處于軸向平衡位置，線圈通入的電流大小相等，軸向控制線圈在軸向兩端氣隙處所產生的磁通是相等的。因此，轉子受到軸向的磁吸力為零。假設當轉子受到外界擾動力向右運動時，傳感器檢測出轉子偏離平衡位置的位移，通過控制作用使左側控制線圈中電流增加，右邊控制線圈中電流減小，則轉子受到向左的懸浮力增加，而轉子受到向右的懸浮力減小，其合力與擾動力方向相反，從而把轉子“拉回”到平衡位置。如轉子受到向左的外力擾動，可以通過控制作用得到類似結果。所以不論轉子受到向左或向右的擾動，通過控制器調節控制電流，均可使轉子始終保持在平衡位置。

1—控制磁通；2—軸向控制線圈；3—軸向定子；4—轉軸；5—吸力盤

1.2 數學模型

由文獻[9]可知，軸向主動磁軸承的懸浮力方程為

(1)

式中：F為磁軸承轉子所受的軸向磁吸力；x為軸向位移偏移量；i為控制電流；i0為偏磁電流；μ0為空氣磁導率;δ0為氣隙長度；N為控制線圈匝數；Sa為軸向磁極面積。

對(1)式進行線性處理，在平衡位置附近(x?δ0，ix?i0)進行Taylor展開并略去高階無窮小量可得

(2)

式中：kx為軸向位移剛度系數；ki為軸向電流剛度系數。在磁軸承的結構和工作點確定后，kx和ki為常數。

2 控制系統的設計

2.1 自抗擾控制器的結構及原理

自抗擾控制器由非線性跟蹤-微分器(TD)、擴張狀態觀測器(ESO)和非線性狀態誤差反饋(NLSEF)控制規律3部分組成，如圖2所示。TD用來安排過渡過程，并給出各階微分信號；擴張狀態觀測器(ESO)由對象輸出來觀測其各階的導數和估計擾動；非線性狀態誤差反饋(NLSEF)利用TD和ESO的輸出之差來形成控制量u0(t)。用這些誤差的非線性組合和總擾動估計補償量來生成對對象的控制量u(t)。

圖2 自抗擾控制器的結構框圖

2.2 控制器的設計

(1)安排過渡過程TD[8]

(3)

A=v1-ur+v2|v2|/2R。

(2)擴張狀態觀測器ESO[10]

(4)

(3)非線性狀態誤差反饋NLSEF[11]

(5)

式中：R，det1，det2，det3，bet1，bet2，bet3，a1，a2，a3，a4，a5，b，bt1，bt2為待定參數，都需經調整確定。由控制規律的表達式可知，系統控制規律與系統內部的參數無關，而只與系統的輸出和給定輸入有關。

2.3 模糊自抗擾控制系統的結構

圖3所示為軸向磁軸承模糊自抗擾控制系統的結構框圖，由二階TD、非線性狀態誤差反饋NLSEF、三階ESO和模糊控制器組成。因在實際應用中，非線性反饋參數β1和β2與PD控制器的2個參數Kp，Kd的整定十分相似，β1為比例系數，β2為微分系數。因此設計了一個模糊控制器，以e1和e2作為控制器的輸入，利用模糊控制規則在線對自抗擾參數進行修改，以滿足不同時刻的e1和e2對β1和β2自整定的要求。

圖3 磁軸承閉環控制系統結構框圖

2.4 自抗擾控制的參數整定

由于ADRC的3個組成部分TD，ESO和NLSEF是相互獨立設計的，其參數可以獨立進行整定。在參數整定過程中可以發現，TD的參數可以固定化；ESO的參數與擾動幅值成正比，擾動幅值越大則相應的參數也就越大[12]；NLSEF參數的整定可以用PD中的P，D的模糊整定方法[13]。因此，運用模糊控制理論，以誤差E和誤差變化率EC作為輸入，利用模糊控制規則在線對β1和β2參數進行修改，從而滿足不同時刻的E和EC對β1和β2自整定的要求。

將系統誤差E、誤差變化率EC、輸出U1和U2變化范圍定義為模糊集上的論域：E,EC,U1,U2= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3，且其隸屬度函數均采用靈敏度很強的三角函數，如圖4所示。

圖4 E, EC, U1, U2的隸屬度函數

在該控制器中模糊控制子集為E,EC,U1,U2={NB, NM, NS, ZO, PS, PM, PB}，針對β1和β2分別建立了模糊控制規則表，見表1、表2。

表1 參數β1的模糊控制規則表

表2 參數β2的模糊控制規則表

3 控制系統的仿真試驗及結果分析

文中所采用的軸向主動磁軸承仿真參數如下：控制線圈匝數為572匝，平衡氣隙δ0為0.45 mm，軸向線圈偏磁電流i0為0.5 A，磁極面積為392 mm2，飽和磁感應強度Bs為0.8 T，轉子質量m為1 kg，最大承載力為200 N，電流剛度系數Ki為-397.8 N/A，位移剛度系數Kx為441 947.1 N/mm。

給定ADRC的參數取值為：R=220, det1=0.01, det2=0.003, det3=0.003, bet1=5 000,bet2=600 000, bet3=500,α1=0.75,α2=0.5,α3=0.25,α4=0.5,α5=0.75,b=0.5。

利用Matlab軟件的Simulink工具箱搭建磁軸承系統模型并進行仿真，其仿真框圖如圖5所示。

圖5 軸向主動磁軸承模糊自抗擾控制系統的仿真框圖

3.1 階躍響應仿真試驗

圖6所示為系統在輸入單位階躍信號時的位移響應特性曲線，從中可以看出，系統在0.12 s后進入穩定狀態，響應速度非常快，超調量很小，進入穩態的時間短，幾乎沒有靜差，動、靜態性能良好。

圖6 單位階躍響應位移曲線

3.2 抗干擾性仿真試驗

ADRC利用ESO所產生的信號z3(t)對總擾動(包括系統模型攝動和外擾動)進行估計，然后進行相應的反饋補償，因而系統的抗擾動能力依賴于z3(t)對系統總擾動估計的精確度。

假設系統受到了幅值為30 N按鋸齒波變化的擾動，圖7給出了z3(t)對擾動力的估計曲線。由圖可知z3(t)能夠較準確地估計出系統受到的擾動力。

圖7 z3對擾動力的估計曲線

圖8所示為轉子在平衡位置空載，系統只受到幅值為30 N按鋸齒波變化的擾動時轉子的響應曲線。從仿真結果看出系統受到外界擾動時轉子只有極其微小的偏移量，說明系統控制性能良好，抗干擾性能比較強。

圖8 受干擾時的位移曲線

3.3 魯棒性仿真試驗

在系統參數電流剛度系數Ki比較理想的情況下，將其減小30%時，輸入單位階躍信號，則系統的響應曲線如圖9所示。對照圖9和圖6可知，如果磁軸承的電流剛度減小30%，控制系統的階躍響應變化很小，從而驗證了該控制系統具有比較強的魯棒性，控制性能良好。

圖9 Ki變化后的階躍響應位移曲線

4 結束語

將模糊和自抗擾控制理論用于軸向主動磁軸承的控制中，在軟件Matlab的 Simulink上搭建了模糊自抗擾控制系統的模型并對其進行了仿真研究。仿真試驗表明：所設計的軸向主動磁軸承模糊自抗擾控制系統具有響應速度快、超調量小、精度高、抗干擾能力強和魯棒性好等特點。