輪轂軸承單元接觸應力的數值計算與分析

李開元，俞水良，張柏松，陳杰

(1.同濟大學 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201805 2.佳盛汽車零部件有限責任公司，浙江 海寧 314400)

針對輪轂的數值計算，國內有研究者采用2自由度的數學模型對輪轂軸承單元承受沖擊載荷的能力、預調游隙對壽命的影響等方面進行了一定程度的計算分析[1]。但總體而言，在國內開展的對輪轂單元的研究不多。下文將基于3自由度模型，以某車型數據對第2代球軸承輪轂單元的徑向、軸向及力矩的承載能力，接觸應力及接觸橢圓進行數值計算和分析。

1 輪轂軸承單元外部載荷的求解

輪轂軸承單元是地面與車身之間的直接傳力部件，在對輪轂軸承進行受力分析時必須先對車輪與地面間的作用力進行計算[2]。假設車輪受到的側向力、徑向力分別為Fy，Fz，此作用力通過輪轂軸承單元傳遞至車身。為方便后續方程的建立，現將車輪所受力平移至輪轂軸承的中心(2列鋼球的球組節圓中心點連線的中點)，得到輪轂軸承單元所受外部載荷的示意圖(圖1)。

圖1 輪轂軸承外部載荷示意圖

由力學原理可得

(1)

式中：R為車輪靜半徑(即車輛靜止時車輪中心至地面的距離)；e為車輪受力中心至輪轂軸承中心的軸向偏移距離；Fa，Fr，M為輪轂軸承所受外部載荷及力矩。

2 數學模型的建立與求解

2.1 幾何關系的建立

圖2 外圈位移對溝道的影響

其具體計算方程為

(2)

式中：Dpw為球組節圓直徑；dc為2列鋼球球組節圓中心連線的長度；φi為鋼球的位置角。

結合圖3中鋼球與溝道的幾何關系得

(3)

圖3 鋼球與溝道幾何關系示意圖

接觸變形之前鋼球與內、外圈溝道之間關系為

(4)

式中：d1，d2為溝道曲率原始中心距在軸向與徑向上的投影長度。

因此當內圈發生徑向、軸向及轉角位移時，鋼球的法向變形為

(5)

2.2 平衡方程的建立與求解

得到鋼球的法向變形后，根據Hertz理論，鋼球的接觸載荷為

(6)

式中：Kn為載荷-位移參數，由鋼球與溝道的材料及幾何參數決定[3]。

圖4 鋼球法向載荷分解示意圖

其計算方程如下

(7)

(8)

對于徑向力、軸向力與力矩的正負進行如下規定：假設內圈固定，外圈受到的由外列指向內列的軸向力為正，由下方指向上方的徑向力為正，使外圈發生順時針旋轉的力矩為正。因此(8)式與(7)式中的符號有些不同(參見圖4)。

(9)

由此，將每個鋼球的徑向力、軸向力與力矩求和即為輪轂軸承單元總的載荷平衡方程

(10)

(10)式是關于δa，δr，θ的多元非線性方程組，在此采用DFP算法[4]進行數值求解。求解過程中應注意以下2點。

(1)δa，δr，θ通常都非常小(<0.01)，在迭代計算時初值一般都選為0。若發生不收斂的情況則可根據作用載荷的方向及大小進行適當調整。

(11)

3 計算結果與分析

以某第2代輪轂軸承單元為例，對軸承內的應力分布進行計算，并著重分析和研究車輪在受到徑向、側向沖擊力時對輪轂軸承載荷分布的影響。根據表1 中的數據可對輪轂軸承在各行車工況下的載荷分布進行求解。

表1 車型參數

3.1 車輛靜止時軸承的接觸應力

車輛靜止時(僅有徑向力4 750 kN)，軸承內部應力的計算結果如圖5所示(軸向游隙為-0.02 mm)。由圖5可知，因為輪胎受力中心向外列鋼球及溝道偏移，所以2列鋼球及溝道受力并不相等。相應地，外列鋼球及溝道接觸應力大于內列軸承。其詳細計算結果見表2(限于篇幅，內列鋼球及溝道詳細計算結果未列出)。

圖5 車輛靜止時軸承內部應力分布圖

3.2 車輪受到徑向沖擊載荷時軸承的接觸應力

對于徑向沖擊載荷，如果軸承內部產生過大的接觸應力將會在溝道表面產生塑性變形，形成凹坑，軸承將很快失效。

由表2可見，此時軸承內部最大接觸應力值僅為1 768.78 MPa，其接觸角為34.87°，相對于原始接觸角35°并未發生太大變動。

表2 車輛靜止工況下計算結果(外列鋼球及溝道)

圖6所示是軸承在徑向沖擊力作用下軸承內部最大接觸應力的變化曲線。由圖6可知，當汽車徑向沖擊加速度達到12g(g為重力加速度，下同)時，外列鋼球及溝道的最大接觸應力才剛剛超過4 200 MPa[5]。實際上，汽車在運行過程中徑向沖擊很難達到如此數值，因此可以認為輪轂軸承承受徑向沖擊載荷的能力完全能夠滿足要求。

圖6 徑向沖擊力作用下輪轂軸承最大接觸應力曲線

需要注意的是，當只有徑向力作用時，由于車輪受力中心相對于軸承單元的中心向外側偏移了2 mm，因此外列鋼球及溝道所受載荷始終大于內列鋼球及溝道。

3.3 車輪受到側向沖擊載荷時軸承的接觸應力

車輛在轉彎時會有側向加速度，此時輪轂軸承承受的載荷會有很大提高[1]。在此僅針對轉彎的外側軸承單元(若車輛右轉則分析左側車輪的輪轂單元)進行分析。

圖7所示的是車輪在受到側向力作用時輪轂軸承的最大接觸應力曲線。圖7表明，外列鋼球及溝道最大接觸應力在載荷增加的初期有一個下降的過程，這是因為力矩載荷與徑向載荷有一定的抵消，隨著車輪側向載荷的增加，力矩作用完全占據上風，徑向載荷在總載荷中的比例越來越小。當側向沖擊加速度約為0.75g時，內列鋼球及溝道最大接觸應力值達到4 200 MPa。

圖7 側向沖擊力下軸承最大接觸應力曲線

雖然車輪在受到側向沖擊作用時軸承的接觸應力很容易超過極限，但側向附著系數即使是在高質量的輪胎與最好的路面接觸時也只能夠達到0.8，因此可以認為側向沖擊加速度大于0.75g的情況在實際行駛過程中不會出現。由于車輪側向力的作用，此時內列鋼球及溝道承受的載荷大于外列鋼球及溝道。

3.4 車輪受到側向沖擊載荷時的接觸橢圓

球軸承在軸向力作用下接觸橢圓有可能會超出溝道擋邊，此時Hertz接觸理論將不再適用。而這種情況在車輪受到側向力時很容易在輪轂軸承上發生。

圖8所示是車輪受到0.7g側向沖擊加速度作用時輪轂軸承的接觸橢圓。由圖8可見，內、外圈的接觸橢圓都稍稍超出了擋邊的最高處，所以此時內、外圈的最大接觸應力應該在4 087.9 MPa和3 729.2 MPa(圖7)的基礎上有所增大，即實際上在這種情況下接觸應力就已經很接近甚至超出4 200 MPa的極限值。

圖8 0.7g側向載荷作用下的接觸橢圓

4 結論

(1)輪轂軸承內部接觸應力對徑向載荷的增加不敏感，且車輪在僅受徑向力作用時,因為輪胎受力中心的偏移，外列鋼球及溝道承受的載荷大于內列鋼球及溝道承受的載荷。

(2)輪轂軸承內部接觸應力隨著車輪側向載荷的增大而快速增大，且在由此產生的軸向力的作用下內列鋼球及溝道承受的載荷大于外列鋼球及溝道承受的載荷。

(3)車輪受到側向沖擊載荷時，輪轂軸承接觸橢圓將不斷拉長并超出擋邊的范圍，軸承單元的側向承載能力會小于理論計算值。

(4)算例中的輪轂軸承在側向沖擊加速度為0.7g時接觸應力已接近或者超過4 200 MPa的極限值，而在實際行車過程中此種情況并非不可能發生，因此這一輪轂軸承對側向沖擊載荷承載能力的設計上有待改進。