習題教學價值的探討

張成宏

本文筆者以人教版（新修訂）八年級下冊第18章《四邊形》復習第14題的教學實踐談一些自己的看法.

1.從受阻的思路中尋找合理成分

原題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E為邊BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F.求證：AE=EF.

對于這道題，學生首先想到的是作FH⊥BC交BC延長線于點H，然后證△ABE≌△EHF.但仔細分析后，又發現圖中這兩個三角形雖然內角相等，但由題意并不容易得出相等的邊.有的同學想到連接AF，意在通過證明∠EAF=∠EFA得到AE=EF.但根據條件，也難以突破.習題教學不僅要解決“是什么”，更要從“為什么”“還有什么”的角度引導學生反思，對解法中蘊含的思想進行提煉.

我們知道：在證明線段相等時，若這兩條線段在同一個三角形中，則可以嘗試利用等角對等證明；若在不同的三角形中則可以考慮三角形全等，而當沒有現成的全等三角形時，可以通過添加輔助線構造全等三角形進行證明，這其實是一種非常重要的思考策略.考慮到∠BAE=∠CEF，點E是BC的中點，經仔細思考，學生提出取AB中點M，連接ME的思路.在△AME與△ECF中，易知∠BAE=∠CEF，AM=EC，所以還需要一 角相等的條件，進一步分析可知，△BME為等腰三角形，CF平分∠DCG，所以∠AME=∠ECF=135°.若將原題條件“點E為邊BC的中點”改為“點E為邊BC上任意一點”（圖4），結論還成立嗎？再進一步，若點E為直線BC上的任意一點，結論是否還成立呢？如圖5，6，當點E在BC的延長線上時，當點E在BC的反向延長線上時，結論還成立嗎？不難發現，其結論都成立.

本題研究到現在，似乎該圓滿結束了，但是一開始學生提出的兩種直覺的想法就真的不行嗎？

思路1：如圖2，不容易證明的原因是這兩個三角形雖然內角都相等，但暫時未找到相等的邊，由角相等可以證∠ABE=∠EHF，進而可得BEAB=FHEH.

思路2：如圖，連接AF不易證明是因為暫時未得出，但反過來想，利用A，E，C，F四點在以AF為直徑的圓上，根據同弧所對的圓周角相等，知∠AFE=∠ACB=45°.

2.改變命題的條件，探究命題的價值

如果將正方形ABCD，改為“等邊三角形”或“正五邊形”，其他條件不變，結論是否還成立呢？

變1：如圖，等邊三角形ABC，點E為邊BC上任一點，∠ADF=60°，EF交等邊三角形外角的平分線CF于F.求證：AE=EF.

變2： 如圖，正五邊形ABCDH，點E為邊BC上任一點，∠AEF=108°，EF交正五邊形外角的平分線CF于F.求證：AE=EF.

解析（略）.

3.交換題設和結論，拓廣知識延伸

延伸1：四邊形ABCD是正方形，點E為邊BC所在的直線上任一點，∠AEF=90°，AE=EF，連接CF，求證：CF平分正方形外角的平分線.

延伸2：四邊形ABCD是正方形，點E為邊BC所在的直線上任一點，CF平分正方形外角的平分線，找一點F，使AE=EF，連接EF，求證：∠AEF=90°.

4.數形結合，另辟蹊徑

建立如圖所示的坐標系，不妨設正方形邊長為1，根據題意：A（0，1），E（12，0），C（1，0），由勾股定理可知：AE=52，AE：y=-2x+1，AE⊥EF，EF：y=12x+b，過E（12，0），所以，b=-14，y=12x-14，CF：y=x-1.

解得：x=32，y=12，F32，12，EF=122+32-12=52，AE=EF.