精密衛星鐘差內插的埃爾米特方法①

曹鳳志，方書山

（1.四川二灘國際工程咨詢有限責任公司，四川 成都610072；2.中國測繪科學研究院，北京100038）

0 引 言

目前IGS網站上能下載各個GPS分析中心提供的精密衛星鐘差CLK文件，文件里的數據內容包括各個GPS跟蹤站接收機鐘差及其鐘速和衛星鐘差及其鐘速，采樣間隔有5min及30s兩種。衛星的鐘差在短時間內雖然會發生抖動，但是長期看來卻呈現一定的規律性，根據已知節點的衛星鐘差及其鐘速可以利用相應的方法內插出任意節點的衛星鐘差。

1 埃爾米特精密衛星鐘差內插原理

IGS提供的鐘差文件名的命名規則為：前三位是分析中心的名稱代碼，中間四位是GPS周，最后一位是 GPS日，后綴的“clk”或者“clk＿30s”表示是鐘差產品文件。如選取IGS精密鐘差星歷文件“igs16176.clk＿30s”為例子，“igs”表示機構名，“1617”表示 GPS周，“6”表示一周的第六天，“clk”表示是鐘差文件，30s為采樣率，單位是s），它對應的時間為2011年1月8日，采用率30s.在文件里面，截取一部分內容出來，如截取內容“AS G16 2011 01 08 21 59 0.0000 2－.523 556 281 012E－04－.323 556 769 012E－10”，此內容指的是 GPS 16號衛星G16在2011年1月8日21點59分0秒的衛星鐘差和鐘速分別是－0.523 556 281 012E－04和－0.323 556 769 012E－10，中間的標識符 “2”指的是鐘差數據類型，“2”表示包含鐘差和鐘速，“1”表示僅僅包含鐘差。

分析其衛星鐘差的變化情況。選其中16號星一整天的衛星鐘差數據，事后精密鐘差變化如圖1所示。

圖1 16號衛星一天內鐘差變化

從圖1中可以看出，衛星鐘差變化值（一天范圍內）有一定的變化趨勢。同時根據鐘差文件，要想得到任意時刻點內的鐘差值，可以想到利用一定的方法進行鐘差插值。

在已知的數據點之間利用某種算法估算出新的數據點稱為插值。精密鐘差插值的常見方法有很多，有線性內插法，二次內插法，拉格朗日內插法等，這些方法進行插值時并沒有考慮鐘差的鐘速信息。根據前面引言介紹的，衛星鐘差的變化成一定的趨勢，根據鐘差文件的內容，可知衛星的鐘差信息由時刻，鐘差和鐘速組成，在數學上可以定義為在節點x上的函數f（x）及其導數f′（x），這種數值分析可以歸結為埃爾米特插值［1]。

對于給定的函數如表1所示。

表1 埃爾米特插值形式

其中，xi∈ a，［b]且xi互異，尋求一個2n＋1次多項式

其幾何意義是曲線y＝H2n＋1（x）與曲線y＝f（x）不但在xi處重合，而且在xi處有公切線。

為求得H2n＋1（x）多項式，構造兩組2n＋1次多項式，使αj（x）與βj（x ）（i＝0，1，…，n） ，滿足條件

其中lj（x）是n＋1個節點x0、x1、…、xn上的n次基本插值多項式。

將αj（x）與βj（x）帶入公式（2），則有埃爾米特插值多項式

作為重要的特例，當n＝1時，由上可以得到滿足插值條件

對精密衛星鐘差，可以采用兩點三次埃爾米特插值來對原始的5min數據進行30s的插值。

2 內插結果

采用兩點三次埃爾米特插值可以從初始IGS鐘差CLK文件中的5min精密鐘差得到30s的精密鐘差，用于后續的精密鐘差應用。以“igs16176.clk”文件中的PRN 16號星為例，說明內插的結果及其精度［3]。選取“igs16176.clk”文件（采樣率5min）中一次5min區間的16號衛星（試驗中鐘差文件選取對應時間為2011年1月8日，跨度為0點0分0秒至0點5min 0s共5min），根據5min采樣率取得2個節點x0，x1，以及對應2個節點的鐘差值y0，y1，鐘速值m0，m1，可以得到如表2所示。

表2 兩點三次埃爾米特插值數據表

根據表2，利用公式（4）進行兩點三次埃爾米特內插30s的鐘差。為了顯示內插的精度變化，和下載的鐘差文件“igs16176.clk＿30s”（采樣30s，鐘差值當做真值），進行相同時間節點的比較［4]，其差值見圖2.

圖2的結果顯示利用“igs16176.clk”文件進行兩點三次埃爾米特30s采樣插值，內插鐘差與“igs16176.clk＿30s”文件在公共點衛星鐘差的差值不超過0.3ns，內插精度足夠高［5－6]。

圖2 16號星衛星兩點三次埃爾米特插值與真值的差異

3 結 論

高分辨率的衛星鐘差可以通過埃爾米特插值來實現［7]。它使用IGS網絡資源的5min采樣率的衛星鐘差CLK文件，對其進行兩點三次埃爾米特插值，可以得到取值區間內30s或更高的采樣率的衛星鐘差。從插值精度而言，精度已足夠，能夠滿足一般導航與定位的需求。

［1]孫志忠，袁慰平，聞震初.數值分析［M].南京：東南大學出版社，2006.

［2]RAINER K.Numerical analysis［M].Springer－Verlag，1998.

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［4]王沫然.MATLAB與科學計算 ［M].北京：電子工業出版社，2006.

［5]李明峰，江國焰，張 凱.IGS精密星歷內插與擬合法精度的比較［J].大地測量與地球動力學，2008，28（2）：76－80.

［6]洪 櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS衛星精密星歷和鐘差三種內插方法的比較［J].武漢大學學報·信息科學版，2006，31（6）：516－519.

［7]DING Yu，CHEN Yang－quan.Advanced applied mathematical problem solutions with MATLAB［M].Springer－Verlag，2008.