“粒子源”問題歸類與解析

肖照明

（宜昌市夷陵中學(xué) 湖北 宜昌 443000）

2010年高考全國(guó)理綜能力測(cè)試卷Ⅰ，Ⅱ物理壓卷題，雖然仍是粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，但不是單個(gè)帶電粒子在磁場(chǎng)中的多階段運(yùn)動(dòng)，而是由“粒子源”從同一點(diǎn)發(fā)出多個(gè)同速率不同方向的同種粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題.有關(guān)“粒子源”問題.筆者認(rèn)為可以從以下幾方面歸納解析.

1 探究粒子所經(jīng)過的區(qū)域

【例1】（2005年高考全國(guó)卷）如圖1，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，平板中心有一小孔.許多質(zhì)量為m電荷為＋q的粒子，以相同的速率，沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔口射入磁場(chǎng)區(qū)域.不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響.圖2中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中哪個(gè)圖是正確的？

圖1

圖2

解析：由于所有粒子的質(zhì)量、電荷量及速度大小均相同，且都從O點(diǎn)開始做圓周運(yùn)動(dòng)，因此所有粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以O(shè)點(diǎn)為圓心、的圓周O1上.由于圓上最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的距離為直徑，所以粒子只能在以O(shè)點(diǎn)為圓心、的圓O2內(nèi)運(yùn)動(dòng)（圖3）.再找粒子的邊界速度v1對(duì)應(yīng)的圓O3.改變粒子的入射方向，即使圓O3的圓心在圓O1上移動(dòng)觀察粒子在MN上方經(jīng)過的區(qū)域（圖3虛線圓弧）.答案選項(xiàng)A就很容易選出.

拓展：如果粒子的入射方向改為“沿位于平面內(nèi)與ON成0°～90°角的范圍內(nèi)，由小孔口射入磁場(chǎng)區(qū)域”，結(jié)果又如何呢？

解析：我們還是要如例題一樣做出圓O1，O2，O3.在移動(dòng)圓O3時(shí)就只能在90°范圍內(nèi)移動(dòng).仔細(xì)觀察粒子能經(jīng)過的區(qū)域應(yīng)該是圖4的陰影部分.這里有一個(gè)桃葉形狀的區(qū)域A是沒有粒子到達(dá)的.這點(diǎn)很容易忽略.

當(dāng)然，確定了粒子所能經(jīng)過的區(qū)域形狀，求其面積就簡(jiǎn)單了.

圖3

圖4

2 探究粒子能打中板的范圍

【例2】（2004年高考廣東卷）如圖5，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.60T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離l＝16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106m／s.已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子.求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度.

圖5

解析：α粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有

由此得

代入數(shù)值得

可見

因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，因此所有粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以S點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓周O1上.由于圓上最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的距離為直徑，所以粒子只能在S點(diǎn)為圓心、半徑為2R的圓O2內(nèi)運(yùn)動(dòng).圓O2與ab交于M，Q兩點(diǎn).利用左手定則以SM為直徑，粒子可到達(dá)M.但不能到達(dá)Q點(diǎn).由圖6中幾何關(guān)系得

粒子的軌跡圓的圓心在O1上運(yùn)動(dòng)，通過作圖（圖6）可知：圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切的切點(diǎn)P就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn).如圖作輔助線可求出

故所求長(zhǎng)度為

代入數(shù)值得

圖6

3 探究粒子通過磁場(chǎng)的時(shí)間

（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷

（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間.

圖7

圖8

解析：（1）粒子沿y軸的正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，從P點(diǎn)經(jīng)過，做的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為圓心（圖8），根據(jù)直角三角形有

解得

及

則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的的圓心角為120°，周期為T＝3t0.粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得

化簡(jiǎn)得

（2）因?yàn)槭峭?hào)粒子以同樣的速度從O點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，進(jìn)入相同的磁場(chǎng)，所以此時(shí)還在磁場(chǎng)中的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓心角為120°的圓弧.且此圓弧的圓心都在以O(shè)為圓心、半徑為的圓周上.如圖9所示，還在磁場(chǎng)中的粒子其初速度方向與y軸正方向的夾角在v1，v2與y軸正方向的夾角之間.由幾何關(guān)系很容易得到v1與y軸正方向的夾角為60°，v2與y軸正方向的夾角為120°.所以初速度與y軸的正方向的夾角范圍是60°到120°的粒子仍在磁場(chǎng)中.

圖9

圖10

（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場(chǎng)的右邊界相切（圖10）.在三角形中兩個(gè)相等的腰為而它的高是

半徑與y軸的的夾角是30°，這種粒子的圓心角是240°.

所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時(shí)間為2t0.

4 探究粒子運(yùn)動(dòng)的條件

【例4】如圖11，從粒子源O以相同速率v0在xOy平面內(nèi)朝x軸上方的各個(gè)方向射出質(zhì)量均為m、電荷均為q的帶負(fù)電的一簇粒子（即0＜θ≤π），不計(jì)重力及粒子間的相互作用.試在圖中的適當(dāng)區(qū)域加一垂直于xOy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使這簇帶電粒子通過該磁場(chǎng)后都沿平行于x軸方向運(yùn)動(dòng).在圖中定性畫出所加的最小磁場(chǎng)區(qū)域邊界的形狀和位置.

解析：分析沿x軸成θ角射出的粒子，其在磁場(chǎng)中的半徑為粒子在A點(diǎn)射出磁場(chǎng).設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）.如圖12，利用勾股定理得

圖11

圖12

即滿足題意的磁場(chǎng)邊界為以O(shè)為圓心、R為半徑的圓.

同理，平行射出的“粒子束”也可以經(jīng)此類磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后匯聚于某一點(diǎn)，便于收集.這也在近幾年的高考題中經(jīng)常出現(xiàn).

雖然粒子源問題對(duì)學(xué)生的綜合能力的要求比較高，但只要掌握好其基本規(guī)律，用好基本方法，突破它是容易的.