金陵中學月考試卷調研

試卷報告

首先，試卷的題型新穎，方法靈活；堅持對基礎知識、基本技能以及數學思想方法的考查．試卷能注重區分度，先易后難，使考生易于上手，但有些題考生易錯，中檔題和高難題比例也較合理，變一題把關為多題把關．

其次，試卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，體現了以知識為載體，以方法為依托，以能力考查為目的的命題要求．加強應用意識，體現現實聯系．

最后，試題突出對學科主干知識考查，8個c級考點全部重點考查；注重知識之間的交叉、滲透和綜合，以檢驗考生能否形成一個有序的網絡化知識體系．

難度系數：★★★★

適用版本：課標版

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1． 若集合A=｛x|x2－9x<0｝，B=y|y∈Z，∈Z*，則集合A∩B的元素個數為________．

2． 計算=________．

3． 圖1所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為____________．

4． 某同學在借助題設給出的數據求方程lgx=2－x的近似數（精確到0.1）時，設f（x）=lgx+x－2，得出f（1）<0，且f（2）>0，他用“二分法”取到了4個x的值，計算其函數值的正負，并得出判斷：方程的近似解為x≈1．8，那么他所取的4個值中的第二個值為____________．

5． 已知總體的各個體的值由小到大依次為2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且總體的中位數為10.5． 若要使該總體的方差最小，則a，b的取值分別是____________．

6． 已知函數y=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π）的圖象如圖2所示，則φ=____________．

7． 在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（0，1），（4，2），（2，6）． 如果P（x，y）是△ABC圍成的區域（含邊界）上的點，那么當w=xy取到最大值時，點P的坐標是____________．

8． 閱讀圖3所示的偽代碼，則運行后輸出的結果是____________．

9． 在集合A=｛2，3｝中隨機取一個元素m，在集合B=｛1，2，3｝中隨機取一個元素n，得到點P（m，n），則點P在圓x2+y2=9內部的概率為__________.

10． 過雙曲線－=1（a>0，b>0）的左焦點F（-c，0）（c>0），作圓：x2+y2=的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若=（+），則雙曲線的離心率為____________．

11． 函數y=f（x）的圖象是兩條直線的一部分（如圖4所示），其定義域為［-1，0）∪（0，1），則不等式f（x）－f（-x）>－1的解集為____________．

12． 設點O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，則#8226;＝____________．

13． 已知P為拋物線y2=4x的焦點，過P的直線l與拋物線交于A，B兩點，若Q在直線l上，且滿足=，則點Q總在定直線x=－1上． 試猜測如果P為橢圓+=1的左焦點，過P的直線l與橢圓交于A，B兩點，若Q在直線l上，且滿足=，則點Q總在定直線____________上．

14． 定義在［1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-x-3． 若函數的所有極大值點均落在同一條直線上，則c=__________．

二、解答題：本大題共6小題，共90分．

15． （14分）已知△ABC中，AC=1，∠ABC=，∠BAC=x，記f（ｘ）=#8226;．

（1）求f（x）解析式及定義域．

（2）設g（x）=6m#8226;f（x）+1，x∈0，，是否存在實數m，使函數g（x）的值域為1，？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

16． （14分）如圖5，AB為圓O的直徑，點E，F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．

（1）求證：AF⊥平面CBF；

（2）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；

（3）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD，VF-CBE，求VF-ABCD∶VF-CBE．

17． （14分）已知圓C通過不同的三點P（m，0），Q（2，0），R（0，1），且圓C在點P處的切線的斜率為1．

（1）試求圓C的方程；

（2）若點A，B是圓C上不同的兩點，且滿足#8226;=#8226;，

①試求直線AB的斜率；

②若原點O在以AB為直徑的圓的內部，試求直線AB在y軸上的截距的取值范圍．

18． （16分）某企業在第1年初購買價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年起，每年初M的價值是上年初價值的75%．

（1）求第n年初M的價值an的表達式；

（2）設An=，若An大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新，求需在第幾年初對M更新．

19． （16分）已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx（a≠0）．

（1）若a=－2時，函數h（x）=f（x）－g（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍．

（2）在（1）的結論下，設φ（x）=e2x+bex，x∈［0，ln2］，求函數φ（x）的最小值．

（3）設函數f（x）的圖象C1與函數g（x）的圖象C2交于點P，Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1，C2于點M，N，是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

20． （16分）設數列｛ｘｎ｝的所有項都是不等于1的正數，前n項和為Sn，已知點Pｎ（xｎ，Sｎ）在直線y=kx+b上（其中，常數k≠0，且k≠1），又yｎ=log0.5xｎ．

（1）求證：數列｛ｘｎ｝是等比數列．

（2）如果yｎ=18－3n，求實數k，b的值．

（3）如果存在t，s∈N*，s≠t，使得點（t，ys）和（s，yt）都在直線y=2x+1上，是否存在自然數M，當n>M時，xｎ>1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

21． ［選做題］在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．

A． （選修4-1：幾何證明選講）

如圖6，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD＝AC，連結AD交⊙O于點E，連結BE與AC交于點F．

（1）判斷BE是否平分∠ABC，并說明理由；

（2）若AE=6，BE=8，求EF的長．

B． （選修4—2：矩陣與變換選講）

變換T1是逆時針旋轉的旋轉變換，對應的變換矩陣是M1；變換T2對應的變換矩陣是M2=1 10 1．

（1）求點P（2，1）在T1作用下的點P′的坐標；

（2）求函數y=x2的圖象依次在T1，T2變換的作用下所得曲線的方程．

C． （選修4—4：坐標系與參數方程選講）

已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為x=t，y=t+1 （t為參數），求直線l被曲線C截得的線段長度．

D． （選修4－5：不等式選講）

設x，y，z為正數，證明：2（x3+y3+z3）≥x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）．

［必做題］ 第22、23題，每小題10分，共20分．

22． “抽卡有獎游戲”的游戲規則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“奧運福娃”或“奧運會會徽”，要求參加游戲的4人從盒子中輪流抽取卡片，一次抽2張，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2張“奧運福娃”卡才能得到獎并終止游戲．

（1）游戲開始之前，一位高中生問：盒子中有幾張“奧運會會徽”卡？主持人說：若從盒中任抽2張卡片不都是“奧運會會徽”卡的概率為． 請你回答有幾張“奧運會會徽”卡．

（2）現有甲、乙、丙、丁4人參加游戲，約定甲、乙、丙、丁依次抽取． 用ξ表示4人中的某人獲獎終止游戲時總共抽取卡片的次數，求ξ的概率分布及ξ的數學期望．

23． 用a，b，c，d四個不同字母組成一個含n+1（n∈N*）個字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個字母不同． 例如n=1時，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…， 如圖7所示． 記這含n+1個字母的所有字符串中，排在最后一個的字母仍是a的字符串的種數為an．

（1）試用數學歸納法證明：an=（n∈N*，n≥1）；

（2）現從a，b，c，d四個字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個字母的所有字符串中隨機抽取一個字符串，字符串最后一個的字母恰好是a的概率為P，求證：≤P≤．