函數與導數、數列及三角

縱觀全國各地的高考試題，我們不難發現創新型試題層出不窮：它們不僅立意新穎、內涵深刻，而且在求解思路上也與眾不同，也是高考試題中一道亮麗的風景線．在本期里，《數學金刊》試題研究組為大家帶來函數與導數、數列及三角這三方面的創新試題．

1． 設集合M＝｛平面內的點（a，b）｝，N＝｛f（x）f（x）＝acos2x＋bsin2x，x∈R｝，給出從M到N的映射f：（a，b）→f（x）＝acos2x＋bsin2x，則點（1，）的象f（x）的最小正周期為（ ）

A． π B． C． D．

2． 設函數f（x）的定義域為D，若存在非零常數l，使得對于任意x∈M（MD）都有f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數，l是一個高調值．

現給出下列命題：

①函數f（x）=為R上的高調函數；

②函數f（x）=sin2x為R上的高調函數；

③若函數f（x）=x2+2x為（－∞，1］上的高調函數，則高調值l的取值范圍是（－∞，－4］．

其中正確的命題個數是（ ）

A． 0個 B． 1個 C． 2個 D． 3個

3． 已知數列A：a1，a2，…，an（0≤a1

①數列0，1，3，5，7具有性質P；

②數列0，2，4，6，8具有性質P；

③若數列A具有性質P，則a1=0；

④若數列a1，a2，a3，a4，a5（0≤a1

其中真命題有________．

4． 如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2 km，點P在圓Q上，現要在公園內建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地．

（1）如圖1，要建的活動場地為△RST，求場地的最大面積；

（2）如圖2，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積．

圖1

圖2

5． 對于定義域為D的函數y= f（x），如果存在區間［m，n］D，同時滿足：

①f（x）在［m，n］內是單調函數；

②當定義域是［m，n］時， f（x）的值域也是［m，n］，則稱［m，n］是該函數的“和諧區間”．

（1）求證：函數y=g（x）=3－不存在“和諧區間”．

（2）已知：函數y=（a∈R，a≠0）有“和諧區間”［m，n］，當a變化時，求出n－m的最大值．

（3）易知，函數y=x是以任一區間［m，n］為它的“和諧區間”． 試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”． （不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=的函數為例）

6． 定義：對于任意n∈N，滿足條件≤a且an≤M（M是與n無關的常數）的無窮數列｛an｝稱為T數列．

（1）若an=－n2（n∈N），證明：數列｛an｝是T數列．

（2）設數列｛bn｝的通項為bn=24n－3n，且數列｛bn｝是T數列，求M的取值范圍．

（3）設數列cn=q－（n∈N），數列｛cn｝是否是T數列？請說明理由．

1． A．

2． ①對，l取小于0的數；②對，令l=kπ，k≠0；③對，由定義有（x+l）2+2（x+l）≥x2+2x，即2lx+l2+2l≥0在（－∞，1］上恒成立，所以l2+4l≥0且l<0，所以l∈（－∞，－4］，選D．

3． ①錯，不滿足任意這個關鍵點；②對，不管怎么取i，j，aj－ai總會是數列中的一項；③對，由定義，aj+a1與aj－a1兩數中至少有一個是該數列中的一項，j為任意數，則a1=0；④對，a1=0，若a2+a3=a4，則a5－a2與a5－a3中，必有一項不在數列中，故a2+a3≠a4，同理a2+a3≠a5，所以由定義a3－a2=a2，即a1+a3=2a2．

4． （1）過S作SH⊥RT于H，S△RST=SH#8226;RT．

由題意，△RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離；

RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，則有RT≤4，SH≤2，當且僅當RT切圓Q于P時，上面兩個不等式中等號同時成立． 此時，場地面積的最大值為S△RST=×4×2=4（km2）．

（2）同（1）的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設∠BPA=θ，連結CP，則有

S=×2×2×sinθ×2+×2×2×sin（π－2θ）=4（sinθ+sinθcosθ）0<θ<． 令y=sinθ+sinθcosθ，則y′=cosθ+cosθcosθ+sinθ（－sinθ）=2cos2θ+cosθ－1．

若y′=0，cosθ=，θ=，又θ∈0，時，y′>0，θ∈，時，y′<0，函數y=sinθ+sinθcosθ在θ=處取到極大值也是最大值，故θ=時，場地面積取得最大值為3（km2）．

5． （1）設［m，n］是已知函數定義域的子集．因為x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函數y=3－在［m，n］上單調遞增．

若［m，n］是已知函數的“和諧區間”，則g（m）=m，g（n）=n，故m，n是方程3－=x的同號的相異實數根．

因為x2－3x+5=0無實數根，所以函數y=3－不存在“和諧區間”．

（2）設［m，n］是已知函數定義域的子集．因為x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函數y==－在［m，n］上單調遞增．

若［m，n］是已知函數的“和諧區間”，則f（m）=m，f（n）=n，故m，n是方程－=x，即a2x2－（a2+a）x+1=0的同號的相異實數根．

因為mn=>0，所以m，n同號，只須Δ=a2（a+3）（a－1）>0，即a>1或a<－3． 已知函數有“和諧區間”［m，n］，因為n－m==，所以當a=3時，n－m取最大值．

（3）如：y=－x+2和諧區間為［0，2］，［－1，3］，當a+b=2的區間［a，b］；y=sinx和諧區間為［0，1］；y=和諧區間為［－1，0］．

6． （1）由an=－n2得an+an+2－2an+1= －n2－（n+2）2+2（n+1）2=－2<0，所以數列｛an｝滿足≤an+1． an=－n2（n∈N）單調遞減，所以當n=1時，an取得最大值－1，即an≤－1． 所以，數列｛an｝是T數列．

（2）由bn=24n－3n得bn+1－bn=24（n+1）－3n+1－24n+3n=24－2#8226;3n，當24－2#8226;3n≥0，即n≤2時，bn+1－bn>0，此時數列｛bn｝單調遞增；而當n≥3時，bn+1－bn<0，此時數列｛bn｝單調遞減；因此數列｛bn｝中的最大項是b3，所以，M的取值范圍是M≥b3=45．

（3）假設數列｛cn｝是T數列，依題意有：cn+cn+2－2cn+1=+－=．

因為n∈N，所以當且僅當p小于n的最小值時，－cn+1≤0對任意n恒成立，即可得p<1．又當p<1時，n－p>0，cn=q－

綜上所述：當p<1且M≥q時，數列｛cn｝是T數列．