提高函數(shù)與圖象的對(duì)話水平

生活中與人對(duì)話，使人生更美好，數(shù)學(xué)中與圖象對(duì)話，使數(shù)學(xué)更精彩． 華羅庚先生又說(shuō)：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛． 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．” 函數(shù)圖象是數(shù)和形的結(jié)合物，有了直觀，才有判斷． 沒(méi)有形象思維的參與，邏輯思維就不可能很好地展開和深入． 與圖象對(duì)話就是使抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象有機(jī)結(jié)合，使我們的思維更靈活，處理問(wèn)題的手段更豐富． 對(duì)于2011年浙江理科第22題（2），考生普遍反映難． 如何破解難題呢？本文結(jié)合本題第2問(wèn)，談如何與圖象對(duì)話，提高數(shù)學(xué)解題能力．

題目

設(shè)函數(shù)f（x）＝（x－a）2lnx，a∈R．

（1）若x＝e為y=f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；

（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．

注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

觀察提問(wèn)

觀察是對(duì)話的基礎(chǔ)，沒(méi)有掌握一定量的必需的信息，對(duì)話就無(wú)從談起． 數(shù)學(xué)思維通常都從觀察對(duì)象開始，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題特征以及獲得解決問(wèn)題的思維方法． 本題目標(biāo)是根據(jù)給出的函數(shù)表達(dá)式研究函數(shù)的一些性質(zhì)． 那么從函數(shù)式中需要了解函數(shù)圖象哪些信息呢？因?yàn)榉从澈瘮?shù)圖象特征主要是：范圍、對(duì)稱性、周期性、關(guān)鍵點(diǎn)、單調(diào)性、漸近線等． 因此，解題者在觀察分析函數(shù)式時(shí)需要思考并提出：自變量的取值范圍是多少？有哪些關(guān)鍵點(diǎn)？奇偶性如何？函數(shù)值變化規(guī)律及其變化的“大致”范圍是什么？

通過(guò)觀察函數(shù)式f（x）＝（x－a）2lnx，a∈R，從中可以得到以下特征：含有一個(gè)參變量a，當(dāng)x>1時(shí)f（x）>0，當(dāng)00），函數(shù)不具奇偶性，不呈周期現(xiàn)象．

勾畫圖象

f（x）的圖象是否過(guò)定點(diǎn)（a，0）由a的正負(fù)決定． 因此，對(duì)a要分a≤0和a>0進(jìn)行考慮．

情況1

當(dāng)a≤0時(shí)，如圖1． f（x）＝（x－a）2lnx（a∈R）的圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0），位于y軸右邊且在（0，+∞）上單調(diào)遞增．此時(shí)在（0，3e］上f（x）最大值為f（3e）=（3e－a）2ln3e＞18e2．

所以a≤0不合題意．

對(duì)于a>0， f（x）＝（x－a）2lnx（a∈R）的圖象位于y軸右邊，x∈（0，1）時(shí)圖象在x軸下方，x∈（1，+∞）時(shí)圖象在x軸上方，且過(guò)定點(diǎn)（1，0）及（a，0）．

這兩定點(diǎn)是圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，由于a與1的大小關(guān)系不知，故（a，0）與（1，0）相對(duì)位置也不能確定．

因此對(duì)a進(jìn)行分類討論．

即分為01兩個(gè)類別．

圖1

圖2

情況2

當(dāng)0

回歸代數(shù)

當(dāng)a>1時(shí)，在（0，1］上圖象位于x軸下方，在（1，+∞）上圖象雖然位于x軸上方，但圖象又要過(guò)定點(diǎn)（a，0），因此，圖象在（1，+∞）上肯定不具單調(diào)性．

從函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式來(lái)看，函數(shù)的單調(diào)性并不明顯，用什么方法研究函數(shù)的單調(diào)性呢? 針對(duì)函數(shù)式的特征，需要用導(dǎo)數(shù)的方法對(duì)函數(shù)作進(jìn)一步的探索．

考察f ′（x）=（x－a）2lnx+1－，由（x－a）2lnx+1－=0得兩個(gè)極值點(diǎn)x1=a和x2，x2滿足2lnx+1－=0，接著就要問(wèn)：這兩個(gè)極值點(diǎn)的位置怎樣？x2雖然由2lnx+1－=0確定，但無(wú)法求出． 好多考生解題思維就在這里被“卡住”． 若將2lnx+1－=0作適當(dāng)?shù)淖冃危胊=2x2lnx2+x2，這樣就不難由a>1推出a>x2，其中x1=a是極小點(diǎn)，x2是極大點(diǎn)，且極大值f（x2）=4xlnx2．

由此我們又進(jìn)一步描繪f（x）＝（x－a）2lnx，a>1的圖象，如圖3，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)函數(shù)a=2x2lnx2+x2和f（x2）=4xlnx2在（1，+∞）上都是單調(diào)遞增的，即a越大x2越大， f（x2）也越大．

特殊探路

對(duì)于a>1，在圖3中，函數(shù)f（x）在（0，3e］上哪個(gè)位置達(dá)到最大值？因?yàn)閒（x）在（0，1］上函數(shù)值非正數(shù)，在（1，3e］上函數(shù)值為正數(shù)，所以f（x）的最大值一定在（1，3e］上達(dá)到． 在x=x2處還是在x=3e處達(dá)到最大值呢？這需要判斷3e，x2，a三者的大小關(guān)系． 第2問(wèn)的求解目標(biāo)是：“求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立”，第1問(wèn)求得的結(jié)果是：當(dāng)a=3e時(shí)，x=e是它的極大值點(diǎn)．此時(shí)的極大值剛巧為4e2． 是一種巧合嗎？由此猜想f1（x）=（x－3e）2lnx是一個(gè)非同小可的函數(shù)，不妨作出其圖象，如圖4． 對(duì)于a>1情況下的f（x）＝（x－a）2lnx的圖象特征都以它為“基準(zhǔn)”作進(jìn)一步探究．

圖3

圖4

第1問(wèn)的結(jié)果對(duì)第2問(wèn)的解決有很大的啟發(fā)和幫助作用，第1問(wèn)的設(shè)置為第2問(wèn)埋下了很好的伏筆，可惜多數(shù)考生都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)或用好這條有重要價(jià)值的信息．

完美圖象

如何比較“完美”地描繪f（x）=（x－a）2lnx（a>1）的圖象特征？以（3e，0）為“基準(zhǔn)點(diǎn)”，對(duì)（a，0）的位置進(jìn)行分類討論，再結(jié)合“a越大x2越大， f（x2）也越大”描繪其圖象．

情況3

當(dāng)3e（x2－a）2ln3e=（2x2lnx2）2ln3e． 又3e4e2ln3e>8e2．

情況4

當(dāng)x2<3ee，如圖6，在（0，3e］上f（x）的最大值為f（x2）>f（e）=4e2．

由情況3、情況4可得3e

情況5

當(dāng)3e≥a>1時(shí)，如圖7，則有f（x2）<4e2． 又因?yàn)閒（x）在（a，+∞）上遞增，所以欲使對(duì)任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立，只需f（3e）=（3e－a）2#8226; ln3e≤4e2， 即3e－≤a≤3e．

圖7

綜上，a的取值范圍為3e－≤a≤3e.

函數(shù)與函數(shù)的圖象可謂“形影相伴”，以形助數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)重要而關(guān)鍵的一環(huán)，但多數(shù)同學(xué)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想還處于外行“看熱鬧”狀態(tài)，沒(méi)有進(jìn)入門道． 其主要原因是，我們?nèi)狈ⅰ皵?shù)”和“形”有機(jī)結(jié)合，不會(huì)將函數(shù)與其圖象進(jìn)行有效的對(duì)話和溝通，這無(wú)疑在函數(shù)轉(zhuǎn)譯成圖象的思維活動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)各種障礙，從而導(dǎo)致解題思路受阻或出錯(cuò)． 因此提高函數(shù)與圖象對(duì)話能力水平顯得十分重要．