圓錐截交線上特殊點的求法

田福潤， 陳 光， 劉玉潔

（長春工程學院機電學院，吉林長春 130012）

1 截交線上各特殊點的位置

平面與圓錐相交，截交線是平面與圓錐表面的共有線［1－3］。根據截交線是平面上的線這一性質，我們把平面和截交線單獨畫出。分析一下截交線上各特殊點在平面上的位置。一平面和平面上一條曲線（橢圓）的兩個投影如圖1所示。

平面ABCD可認為是一個截平面，橢圓可認為是截平面ABCD與圓錐的截交線。從圖1水平投影分析，橢圓上的最前點Ⅰ和最后點Ⅱ，一定是平面上與橢圓相切的兩條正平線與橢圓的兩個切點。同樣道理，橢圓的最左點Ⅲ和最右點Ⅳ，一定是平面上與橢圓相切的兩條側平線與橢圓的兩個切點。橢圓的最高點Ⅴ和最低點Ⅵ，一定是平面上與橢圓相切的兩條水平線與橢圓的兩個切點。

圖1 特殊點的位置

由以上分析可知，橢圓上的最前、最后、最左、最右、最高、最低等特殊點，都是平面上與橢圓相切的各投影面平行線與橢圓的切點。根據這一特性，則可以通過作圖求出這些特殊點。

2 確定截交線上各特殊點作圖方法

2.1 輔助切平面法

特殊點作圖方法如圖2所示。

圖2 特殊點作圖方法

從圖中可見，圓錐被平面P所截切，截交線為一橢圓。我們先分析橢圓上最前點（或最后點）的確定方法。

橢圓上的最前點K一定在平面P與橢圓相切的正平線上［4］。如果平行與平面P上的正平線作一個與圓錐相切的平面，如圖中平面SAB，則有：

1）圓錐的切平面SAB與平面P相交，交線為一條正平線ⅠⅡ。

2）圓錐的切平面SAB與圓錐相切為一條素線SK1。

3）由于ⅠⅡ，SK1都是SAB平面上的直線，所以ⅠⅡ與SK1有唯一的一個交點K。

根據上述結果可推理出：

1）點K即在平面P上（在ⅠⅡ上），又在圓錐表面上（在SK1上），所以K點是平面P與圓錐表面的共有點，即截交線上的點。

2）由于ⅠⅡ線是圓錐切平面SAB上一條直線，所以ⅠⅡ線與圓錐表面相切，切點即是K點。

3）由于ⅠⅡ線又是平面P上一條正平線，它與圓錐表面的切點K，即為平面P上的一條正平線與截交線的切點，也就是截交線上的最前點。

通過以上論證，可以得出求解截交線上的最前點（或最后點）的作圖方法：平行于平面P上的一條正平線MN作圓錐面的切平面SAB（可作兩個），求出切平面SAB與圓錐面的切線SK1，切線SK1與平面P的交點K就是截交線上的最前點（或最后點）。

對于最左、最右、最高、最低點的確定方法［5－6］，與最前、最后點的方法基本相同，不同之處只是切平面的位置不同，方法如下：

1）確定最左、最右點，是平行與平面P上側平線作圓錐面的相切平面。

2）確定最高、最低點，是平行與平面P上水平線作圓錐面的相切平面。

2.2 輔助投影法

確定截交線上的各特殊點，除了輔助切平面法外，還可以采用輔助投影的方法［7］（見圖2）。要確定截交線上最前點K，可以用中心投影的方法，即以錐頂S為投影中心，把錐面和平面P向錐底面所在平面進行投影。投影結果使錐面的投影都聚在錐底面的曲線上，平面P的投影成為P1（雙點劃線表示），平面P上與截交線相切的正平線ⅠⅡ投影成Ⅰ1Ⅱ1，Ⅰ1Ⅱ1與錐底面曲線相切K1點，K1點即是截交線的最前點K的中心投影。K1確定之后，返回投影即可以確定出K點，具體作圖方法如下：

1）以錐頂S為投影中心，把錐面投影到錐底面上，投影積聚成錐底曲線。

2）以錐頂S為投影中心，把平面P上的任意一條正平線MN投影到錐底面所在平面，投影成M1N1。

3）根據兩條平行直線的中心投影交于同一滅點的特性，求出M1N1的滅點F（圖中未畫出），然后過F點作錐底面曲線的切線，此切線就是平面P上與截交線相切的正平線ⅠⅡ的中心投影Ⅰ1Ⅱ1，切點K1就是線與截交線的切點K的中心投影。

4）把K1反投影回去，即連接K1S，求出K1S與平面P的交點K，K點就是截交線的最前點。

上面是用輔助投影的方法確定截交線上最前點（或最后點）的作圖方法。最左、最右、最高、最低等各點的確定方法基本相同。不同之處只是把平面P上的不同投影面平行線進行中心投影。

3 作圖舉例

求平面P與斜橢圓錐的截交線，如圖3所示。

1）用變換投影面X1使平面P積聚成P1。

2）求特殊點。

①求最前點、最后點（輔助切面法）：

a．過錐頂S平行與平面P的正面跡線PV作斜橢圓錐的兩個切面SAB，方法如下：

過錐頂S作一條平行PV的直線SA，求出SA的水平跡點a。

過a作錐底面曲線的切線ab（兩條），則SAB就是平行PV直線，并與錐面相切的平面（兩個）。

b．求出切平面SAB與斜橢圓錐的切線SB，SB的水平投影為sb（兩條）。

c．利用變換投影面X1，求出sb與平面P的交點1，2，這兩點即是截交線上的最前點和最后點的水平投影。

②求最左點、最右點［8］（輔助投影法）：

a．采用中心投影法，把平面P上的任意一條側平線MN投影到水平面上得M0N0。

b．連接M0N0，求出其滅點F。

c．過滅點F作斜橢圓錐底面的切線Fd（兩條），d為切點。

d．連接Sd，利用變換投影面X1，求出Sd與平面P的交點3，4，這兩點即是截交線上的最左點和最右點的水平投影。

③求最高點、最低點：

利用變換投影面X1，可直接求出截交線上的最高點和最低點的水平投影5，6。

3）連線。

把以上各點連接起來，就可以準確作出截交線的投影形狀。圖中截交線的正面投影未畫。

4 結 語

文中只討論了圓錐截交線特殊點的求法，其它曲面體截交線特殊點的求法還有待探討。

［1］ 張華鈾．截交線和相貫線的控制要點：求特殊點［J］．機械研究與應用，2005（5）：37－45．

［2］ 劉朝儒，彭福蔭，高政一．機械制圖［M］．北京：高等教育出版社，2001．

［3］ 大連理工大學工程畫教研室．機械制圖［M］．北京：高等教育出版社，1999．

［4］ 彭志廣，鮑衛芳．求相貫線特殊點問題一例的探討［J］．中國民航學院學報，2000（4）：95－98．

［5］ 李冰，薛頌菊．圓柱與圓錐相貫時相貫線上特殊點的討論［J］．北京建筑工程學院學報，2001（4）：213－220．

［6］ 龍子勇，劉雯．相貫線上兩個特殊點投影的求法［J］．太原科技，2002（2）：45－47．

［7］ 蘇步青，華宣積．空間解析幾何［M］．上海：上海科技出版社，1984．

［8］ 劉鐵祿．準確求解圓錐、圓柱正交相貫最右點［J］．東華大學學報，2006（5）：77－85．