基于Copula-MEM模型的滬深300指數日內波動率序列間動態相關性分析

華中科技大學 潘 娜 周少甫

一、Copula-MEM 模型簡介

本文的主要目的是對三類不同波動率指標在不同時點的動態條件相關性建模。運用Copula技術來構建金融模型的方法，可以將邊緣分布和變量間的相關結構分開來研究：第一步對三序列分別確立邊緣分布模型，第二步對所擬合的邊緣分布模型的標準化殘差序列進行概率積分轉化，并對轉化后的序列定義一個合適的Copula函數用于描述序列間的相依結構。

（一）邊際分布模型-MEM 選擇一個合適的邊緣分布模型是構建Copula模型的重要前提。基于金融時間序列數據的尖峰、偏態、非負值及非正態特征，我們假定絕對值收益率、每日高低價差和日內已實現波動率這三類非負值序列可以由E ng l e（2002）中提出的MEM模型來擬合。即該序列可以由一個時變比例因子和一個標準化正值隨機變量的乘積來構成。因而，我們可以通過對εt規定一個參數密度函數，對μt規定一個方程來建立MEM模型：

基于G a mm a類概率密度函數的靈活性，我們效仿A C D模型的建模方法，假定三序列分別服從不同參數的G a mm a分布。由于誤差項必須滿足單位均值，我們限定γn=1δn，即形狀參數是比例參數的倒數。最后根據下式所得出的密度函數可以用于進行極大似然估計。

（二）Copu l a簡介 Copula是將N個隨機變量的邊緣分布與它們的聯合分布相連接的一種函數。

（1）多元Copula函數。構建描述的多元金融時間序列間相關關系模型的第二步則是要選擇一個合適的Copula函數，現有的適合于分析多元動態相關關系的Copula函數主要有兩類：G au ss i a n Copula和 t Copula。

一是多元正態Copula函數：

二是多元t-Copula函數：

Tρ，v表示相關系數矩陣為ρ，自由度為v的標準多元t分布，t-1v（·）為自由度為v的一元t分布的逆函數：yn=t-1v（un）。

（2）時變相關的Copula。通過定義相關參數ρt隨時間變化的方程，我們可以得到時變相關的Copula模型。下文中我們給出兩種不同的計算時變相關參數ρt的方法：

一是根據 E ng l e（2002）中提出的 D CC（1，1）模型：

二是根據T s e和T s u i（2002）中給出的TV C（1，1）模型：

二、實證分析

將基于Copula-MEM模型對滬深300指數的三種不同收益率測量指標建模，即已實現收益率、每日高低價差及絕對值收益率。

（一）實證數據 分析數據來源于2005年6月6日至2010年10月25日的滬深300指數。通過加總每日十分鐘間隔收益率的平方，得到已實現收益率的平方序列rv2。用Ht和Lt分別表示滬深300指數每日最高價和最低價，得到每日高低價差序列h l2t=（lo g（Ht/Lt））2，用Ct表示每日收盤價格，得到日收益率序列r2t=（lo g（Ct/Ct-1））2。由于取平方后序列值偏小，為了分析的方便將三組序列的數值分別放大10000倍。剔除2007年2月27日這個極端異常值，共得到1299個觀察值。

（二）模型估計 首先分別估計出三個單變量邊緣分布模型中的參數，然后再估計Copula函數中的參數，最后根據Copula所估計出來的參數將其代入到D CC或TV C模型中計算動態相關系數。總體而言，兩步估計法以損失效率為代價而達到了計算上的便利。

（1）邊緣分布模型的估計結果。采用極大似然估計法分別三個單變量MEM模型進行擬合，其估計結果如表1所示：

表 1 GMEM（2，2）模型的估計結果

結果表明，滯后二期的波動率對當期的條件均值關生了顯著的影響，且三序列的βj值較接近1，說明三波動率指標的變化具有持續性。三收益率序列均服從不同參數的G a mm a分布，所以線性相關系數不能度量序列間的相關關系。將表2中所估計出的參數代入公式（4），得到標準化殘差序列 εnt=Xnt/μ?nt，該序列經過概率積分變換后的新序列：ε_rvt，ε_h lt和ε_rrt，經K-S檢驗均服從［0，1］分布，條件邊緣分布MEM（2，2）模型的設定是正確的。

（2）Copula模型的估計結果。如表2所示：

表2 Copula函數的估計結果

表2中的估計結果表明，基于D CC（1，1）擬合的t-Copula模型的對數似然值LL最小，相比G au ss i a n-Copula更適合于對三波動率序列建模，根據所估計出的參數生成三序列間的動態相關系數表明各序列間的相關系數的其變化趨勢較為一致，一些活躍的價格波動主要集中在較短的時期內。

三、結論

作為一種新興的統計工具，使用Copula技術使我們得以用一種較簡單的方法來處理相對復雜的金融問題。本文將Copula技術應用于具有非負值特征，非正態分布、非線性相關的金融時間序列，構建了時變Copula-MEM模型。實證結果表明，與G au ss i a n-Copula函數相比，t-Copula函數更適合于描述三波動率序列間的相關關系。同時，本文的實證結果也對投資者有一定的指導意義，將三個波動率指標共同合并在一個動態相關模型中，有助于提高對不同類型的波動率變化模式的理解能力。

在構建時變Copula-MEM模型的過程中，仍然存在很多值得繼續深入研究的地方，總體來說，現階段對時變Copula模型的研究還不多，還有很多問題需要完善或深入研究，關于不同類型的時變Copula函數的應用程序也急需進一步的開發并納入各種統計分析軟件。

［1］韋艷華、張世英：《多元Copu l a-Ga r c h模型及其在金融風險分析上的應用》，《數理統計與管理》2007年第3期。

［2］Eng l e，R.F.，2002，Dynamic Conditiona l Co rr e l ation-A S imp l e C l assof Mu l ti v a r iate G A RCH Mode l s［J］，Jou r na l of Business and Economic S tatistics，20（3），339-350.

［本文系國家自然科學基金資助項目（編號：70971051）階段性研究成果］