基于RBF－ARX模型的多變量系統(tǒng)非線性預(yù)測(cè)控制

彭繼慎，宋鵬，劉鑒

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島125105）

1 引言

壓鑄機(jī)作為有色金屬鑄件的重要生產(chǎn)裝備，具有十分廣闊的市場(chǎng)前景。隨著制造業(yè)的飛速發(fā)展，對(duì)壓鑄件的質(zhì)量和精度要求越來(lái)越高，壓鑄件既要有尺寸準(zhǔn)確的內(nèi)外腔形狀，又要有良好的力學(xué)性能。生產(chǎn)實(shí)踐表明，壓鑄件充型完好、輪廓清晰，主要取決于壓射速度；壓鑄機(jī)的內(nèi)部質(zhì)量和力學(xué)性能主要取決于增壓效果［1－2］。傳統(tǒng)壓射控制常采用慢壓射、快壓射和增壓3級(jí)順序控制，閥門開度大小固定，調(diào)整困難。之后出現(xiàn)的勻加速壓射、模糊PID控制、變論域模糊控制等方法，都是以輸出反饋構(gòu)成閉環(huán)控制回路，沒(méi)有重視壓射回路中壓射電磁閥和增壓電磁閥的強(qiáng)非線性特性，在實(shí)際應(yīng)用中總體控制精度不高，效果不好。

現(xiàn)有非線性系統(tǒng)建模方法中，分段線性化方法全面描述系統(tǒng)特性要建立一系列局部線性模型，工作量太大且困難；模型參數(shù)在線辨識(shí)計(jì)算量大，參數(shù)收斂困難；單一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模需要多個(gè)中心點(diǎn)，精度要求高時(shí)參數(shù)求解難度大［3－4］。RBFARX模型是針對(duì)非線性系統(tǒng)的離線建模方法，將徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和有源自回歸（auto－regressive with extra inputs，ARX）模型結(jié)合的全局復(fù)合模型。采用快速收斂的結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化策略離線辨識(shí)模型參數(shù)，可以有效避免在線辨識(shí)建模耗時(shí)過(guò)大等問(wèn)題，且每個(gè)工作點(diǎn)的局部線性化自回歸模型都可通過(guò)全局模型快速計(jì)算得出，為非線性系統(tǒng)建模提供了一條強(qiáng)有效的途徑。本文將RBF－ARX模型應(yīng)用于壓鑄機(jī)多變量壓射過(guò)程的建模，給出了模型參數(shù)的辨識(shí)和優(yōu)化、預(yù)測(cè)控制策略和仿真研究結(jié)果。

2 RBF－ARX模型

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

由J.Moody和C.Darken于20世紀(jì)80年代提出的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種3層前饋網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)構(gòu)圖如圖1所示［5］。輸入層由信號(hào)源節(jié)點(diǎn)組成，隱含層由一組隱含層節(jié)點(diǎn)組成。輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)非線性變換傳遞到隱含層，由隱含層節(jié)點(diǎn)的輻射函數(shù)（即基函數(shù)）處理，最后由輸出層對(duì)隱含層節(jié)點(diǎn)的輸出作線性組合后輸出。

圖1 RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of RBF network

隱含層節(jié)點(diǎn)的輻射函數(shù)在局部對(duì)輸入信號(hào)產(chǎn)生響應(yīng)，輸入信號(hào)靠近基函數(shù)的中央范圍時(shí)，隱含層節(jié)點(diǎn)將產(chǎn)生較大的輸出，因此RBF網(wǎng)絡(luò)具有局部逼近能力。可以作隱含層輻射作用的函數(shù)有高斯函數(shù)、逆向二次函數(shù)、多二次函數(shù)、薄板樣條函數(shù)等，高斯函數(shù)以其形式簡(jiǎn)單、解析性好得到廣泛使用。

由圖1可得RBF網(wǎng)絡(luò)輸入層到輸出層的表達(dá)式為

式中：ωi，j為第i個(gè)隱含層神經(jīng)元與第j個(gè)輸出層單元的連接權(quán)值；Fi（x）為采用非負(fù)非線性高斯徑向基函數(shù)；ci為第i個(gè)基函數(shù)的中心；Zj為第j個(gè)輸出層單元偏置的補(bǔ)償。

求給定輸入下的輸出，必須先確定基函數(shù)中心ci和權(quán)重ωi，j。采用模糊K均值聚類算法來(lái)確定各基函數(shù)的中心ci，將樣本點(diǎn)代入基函數(shù)Fi（x）構(gòu)造n維空間向量F，再代入輸出公式可得

2.2 線性ARX模型

對(duì)于一個(gè)帶誤差項(xiàng)的單輸入信號(hào)u（t）和單輸出y（t）信號(hào)（SISO）過(guò)程，可以表示為如下線性方程形式［6］：

將式（3）簡(jiǎn)明表達(dá)，模型方程改寫為

式中：a1，a2，…，ana，b1，b2，…，bnb為常數(shù)，分別表示模型輸出變量和輸入變量的參數(shù)；u（t），y（t）分別為時(shí)刻t時(shí)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)；e（t）為時(shí)刻t時(shí)的擾動(dòng)（或稱為殘差）。

式（4）稱為 ARX模型，其中A（p）y（t）為自回歸（AR）部分，B（p）u（t）為外部輸入X 部分。

3 RBF－ARX模型預(yù)測(cè)控制算法的實(shí)現(xiàn)

3.1 RBF－ARX預(yù)測(cè)控制模型結(jié)構(gòu)

基于RBF－ARX的預(yù)測(cè)控制算法是以RBFARX模型為預(yù)測(cè)模型，用閉環(huán)輸出預(yù)測(cè)構(gòu)成的一種預(yù)測(cè)控制算法［7］，適合于復(fù)雜非線性系統(tǒng)，算法結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 RBF－ARX模型預(yù)測(cè)控制算法結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Structure diagram of predict control using RBF－ARX model

圖2中預(yù)測(cè)輸出是由RBF－ARX模型根據(jù)已知的輸入輸出信號(hào)預(yù)測(cè)對(duì)象未來(lái)N步的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)；優(yōu)化計(jì)算是計(jì)算使控制器的性能指標(biāo)函數(shù)最小的最優(yōu)輸出。控制器根據(jù)輸出預(yù)測(cè)，經(jīng)誤差反饋校正，使系統(tǒng)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)輸出預(yù)測(cè)值和參考軌跡之間的誤差最小，將最優(yōu)控制輸出施加到控制對(duì)象上。

3.2 RBF－ARX模型構(gòu)建

建立壓鑄機(jī)壓射回路兩輸入兩輸出系統(tǒng)（u1，u2是壓射電磁閥和增壓電磁閥控制信號(hào)，y1，y2為壓射速度、壓力）的RBF－ARX模型如下：

3.3 RBF－ARX模型參數(shù)辨識(shí)和優(yōu)化

RBF－ARX模型參數(shù)可用融合了列維布格－奈奎爾特法和線性最小二乘法的結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化方法離線辨識(shí)估計(jì)［8］。這種方法的操作步驟如下：

1）參數(shù)歸類。將式（2）～式（5）的參數(shù)分成線性參數(shù)和非線性參數(shù)，

可將式（5）模型改寫為

2）模型階次確定。按照經(jīng)驗(yàn)選定m為2，根據(jù)最小信息準(zhǔn)則使AIC最小循環(huán)確定pu，py，計(jì)算公式為

式中：V為損失函數(shù)，此處取標(biāo)準(zhǔn)方差的平方；N為辨識(shí)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，d為線性參數(shù)φL和非線性參數(shù)φNL的個(gè)數(shù)總和。

在兩輸入兩輸出系統(tǒng)下，d＝（m＋1）（2pu＋2py＋1）＋8m，計(jì)算出AIC最小情況下m＝2，pu＝6，py＝4。

式中：i＝τ＋1，τ＋2，…，M，τ為模型最大延遲時(shí)間，M為歷史數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

4）參數(shù)優(yōu)化。定義目標(biāo)函數(shù) Ψ（φNL，φL）＝是模型的向前一步預(yù)測(cè)值與采樣數(shù)據(jù)的差值。參數(shù)優(yōu)化就是計(jì)算

3.4 多步向前輸出預(yù)測(cè)

將式（5）所述模型轉(zhuǎn)換成矩陣形式：

則可得到RBF－ARX模型下N步向前的預(yù)測(cè)輸出

E′t，N，F(xiàn)t，N，G′t，N，Ht，N（q－1）是下述兩方程的解：

令N1為預(yù)測(cè)時(shí)域，Nu為控制時(shí)域，期望輸出設(shè)定序列

可將式（9）進(jìn)一步簡(jiǎn)寫為

定義系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下

實(shí)際應(yīng)用中不考慮輸出限制，只使用輸入限制就可以避免二次規(guī)劃，直接得到控制信號(hào)U（t）的表達(dá)式

4 仿真研究

以力勁DCC400M型鎂合金壓鑄機(jī)壓射回路為仿真對(duì)象，為提高分析和仿真效率去掉一些輔助回路和元件，如圖3所示。壓射回路的工作原理是：液壓泵將工作介質(zhì)不斷送入主蓄能器和增壓蓄能器儲(chǔ)存能量，兩路輸入控制信號(hào)分別作用在壓射電磁閥和泄壓閥上，改變液壓缸內(nèi)工作介質(zhì)的流量從而控制液壓缸閥桿的壓射速度和壓力。仿真中對(duì)液壓泵疊加一定幅度的正弦信號(hào)來(lái)模擬液壓泵的脈動(dòng)特性，對(duì)比例換向閥疊加一定幅度的偽隨機(jī)噪聲來(lái)模擬噪聲。

圖3 壓鑄機(jī)壓射回路示意圖Fig.3 Schematic diagram of the die－casting machine′s injection loop

壓鑄機(jī)壓射過(guò)程中理想速度曲線如圖4所示，在壓射前期速度應(yīng)盡量低，有利于排出壓室內(nèi)的空氣；壓射中期速度快速增大，高速推動(dòng)液態(tài)金屬充入鑄型，在金屬溶液開始凝固之前其流動(dòng)性和壓力傳遞性能較好，所以充填時(shí)間越短對(duì)鑄件充型完整越有利；壓射后期速度下降到零，給液態(tài)金屬合金施加穩(wěn)定的高壓［10－11］。

圖4 理想壓射速度曲線Fig.4 Ideal injection speed curve

依據(jù)第3節(jié)中給出的雙輸入雙輸出系統(tǒng)建模、參數(shù)辨識(shí)和優(yōu)化及預(yù)測(cè)控制算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程，進(jìn)行速度設(shè)定值跟蹤效果仿真研究，控制效果如圖5所示。

圖5 跟蹤效果對(duì)比Fig.5 Tracking performances comparision

從圖5a中可以看出，對(duì)于非線性特性一般的壓射電磁閥，速度上升沿跳變時(shí)本文算法和PID算法都能很快響應(yīng)，將速度穩(wěn)定在設(shè)定值，本文算法稍微提前一些。在下降沿跳變時(shí)，PID算法響應(yīng)較慢，比本文算法滯后。

從圖5b中可以看出，對(duì)于強(qiáng)非線性的增壓電磁閥，速度上升沿跳變時(shí)2種算法均不如對(duì)壓射電磁閥的控制效果好，但是仍可以看出本文算法比PID算法超調(diào)量小，響應(yīng)速度快。

綜上所述，基于RBF－ARX模型的非線性預(yù)測(cè)控制算法比傳統(tǒng)PID算法在強(qiáng)非線性多變量系統(tǒng)控制中具有更好的效果。

5 結(jié)論

本文以壓鑄機(jī)多變量壓射過(guò)程非線性系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用基于RBF－ARX模型的離線建模方法，建立系統(tǒng)的全局非線性動(dòng)態(tài)模型。首先介紹了RBF網(wǎng)絡(luò)和線性ARX模型的基礎(chǔ)知識(shí)，采用結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化方法離線辨識(shí)估計(jì)模型參數(shù)，結(jié)合預(yù)測(cè)控制理論確定了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和多步向前預(yù)測(cè)輸出。比較了基于RBF－ARX模型的非線性預(yù)測(cè)控制算法與傳統(tǒng)PID算法的壓射速度設(shè)定值跟蹤效果，驗(yàn)證了此方法的有效性，進(jìn)一步說(shuō)明了RBF－ARX模型在非線性系統(tǒng)建模中的優(yōu)越性。

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