數學分形與設計美學

文/王明君 劉裔博 曹玉梅 趙亦兵 王 武

王明君（江南大學至善學院 學生）

Wang Mingjun (Student，Honors School，Jiangnan University）

劉裔博（江南大學至善學院 學生）

Liu Yibo (Student，Honors School，Jiangnan University）

曹玉梅（江南大學至善學院 學生）

Cao Yumei (Student，Honors School，Jiangnan University）

趙亦兵（江南大學機械工程學院 副教授）

Zhao Yibing (Associate Professor，School of Mechanical Engineering，Jiangnan University）

王 武（江南大學生物工程學院 教授）

Wang Wu（Professor，School of Biology and Engineering，Jiangnan University）

不可否認，數學本身就是一種美。但提到數學，很多人的第一印象是“枯燥乏味、缺乏色彩”。很長時間以來，在美學的精彩世界里，沒有數學的立足之地，數學之美隱藏在深奧的公式里、游離于直覺的具象之外，不免是一種遺憾。著名數學大師陳省身先生說過“數學是美的”，并曾于91歲高齡時為少年兒童題詞，寫下了“數學好玩”四個大字。[1]英國哲學家、數學家B?A?W羅素（Russell）1910年在《哲學論文》雜志發表《數學的研究》一文，在該文中，他提出：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理,而且也具有至高的美。它可以純凈到崇高的地步，能夠達到只有偉大的藝術才能譜寫的那種完美的境地。”[2]事實如此，數學的魅力不僅體現在對真理和規律的精辟提煉和精準表達，還在于它所隱藏的無與倫比的美。數學之美，美在它的包羅萬象，藉此，僅圍繞展示數學特殊的美，從數理學科常用的數學公式中遴選出少數范例，通過信息化手段，進行藝術的詮釋和演繹，并探討有關設計美學應用的前景。

一、眾里尋他千百度——數學美的魅力

圖1 y=x2函數的二維對稱圖形

圖2 z=x3+y3函數可演繹的精美圖形

對于數學公式的藝術詮釋，方法不同，其效果也不同。從簡單的曲線到復雜的圖案，本質上是算法的區別。作為對數學公式藝術性的詮釋，所要實現的就是從簡單到復雜、單一到豐富的演變過程，實現可以令人信服的藝術表達。那么究竟什么樣的圖形才是內容豐富、色彩多樣的呢？

從廣義上講，數學圖形包括一切與數學有關的圖形，如幾何圖形、函數圖形等。按空間維數劃分，則包括平面圖形、三維圖形、思維動態圖形等。隨著信息化和數字媒體技術的廣泛應用，借助應用數學軟件（Mathematica、Maple、MathCad、Matlab、幾何畫板）、計算機繪制的圖形（如分形圖形、微分方程的解曲線）也都屬于數學圖形的范疇。

傳統的數學圖形多是由規則的直線段、圓弧、平面及曲面等組成，如圖1和圖2分別是一元函數y=x2和二元函數z=x3+y3的函數圖形，它們在空間上具有簡單美、對稱美等特點，這對于數學規律研究具有很大意義。但不可否認的是，這些圖形因為簡單而顯得單調和空洞，藝術價值大打折扣，因而在美學藝術上還有很大的發展空間。那么什么樣的圖形才是具有較高藝術欣賞價值的呢？答案很明確，就是能夠達到藝術家畫筆下的作品一樣，反映自然，內容充實，色彩豐富、生動而又活潑。要想達到這樣的效果，研究者就必須能夠通過數學和信息化手段對于特定區域內各個獨立的點進行色彩上的控制，根據每個點的坐標對應于數學公式里的不同意義，定義不同的顏色。當區域內的點被完全控制之后，組合在一起，那么性質相似或相同的點在色彩上相似或相同，便組成一定的圖案，形象地反映出數學公式的內在意義。所以，這種圖形應該具有不規則、對稱、隨機的特性，具有奇幻的藝術想象空間。是的，在數學上，恰有一類處理具備這些特性和要求，這就是誕生于20世紀后期的分形理論與技術。分形隸屬于幾何學范疇，卻打破了經典幾何學的束縛，因而自誕生之日起，就是這樣一個科學與藝術彼此溝通融合的契合點，以自然美為中介而游走于科學與藝術之間的一個神奇的精靈。[3]分形便成為詮釋數學公式藝術價值的重要工具，它以學科交叉性強、抽象與具象相統一的獨特的魅力，吸引了一批數學家、藝術家、設計大師的注意力。

圖3 Koch曲線

圖4 函數f(z)=zn+c的逃逸時間算法演繹圖形

二、千錘萬鑿出深山——數學分形美的探尋

（一）分形引論

1973年，美籍法國數學家Benoit Mandelbrot在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設想。Benoit Mandelbrot創造了分形（Fractal）一詞，他把分形定義為“一個不規則的幾何形體，但在不同的尺度下看它，具有相同或相似的結構。”不規則性在大自然中普遍存在，所以分形又可以稱之為自然幾何學，它以自然現象為研究切入點，應用數學研究方法，反映自然現象的本質。所以，分形理論一經提出，便引起了不同領域不同學者的極大興趣。按照Benoit Mandelbrot對分形的定義，分形具有以下的一些性質：

宏觀上看，形態的不規則性。微觀上看，無限的精細結構。不同尺度上看，具有自相似性（即局部與整體的相似）。 自相似性是分形最主要的特征，無限的自相似則構成了一副分形圖。如圖3是瑞典數學家科赫（H.von Koch）在1904年首次提出的“妖魔曲線”，被稱之為Koch曲線。它的構造過程是這樣的，將一條直線段三等分，然后將中間一段用夾角為60度的兩段等長直線段代替，形成一段曲線。然后將該段曲線中的四段直線段按照相同的方法進行替換，經過無窮多次操作之后，便得到上述Koch曲線，這種結構上的特性便是自相似性。

不同于傳統的歐幾里得幾何學用直線段、圓弧、平面及曲面等手段來分析自然界的各種現象，分形幾何是用不規則的、破碎的幾何形態來分析，因而更加符合自然界事物不規則幾何形態的現狀。[4]經過幾十年的發展，分形已經形成了完整的理論體系。分形理論基礎，特別是分形圖在幾何性質上的“自相似”性，為計算機繪制美麗的分形圖奠定了堅實的基礎、開拓了廣闊的空間。[5]

（二）分形算法

目前的分行算法主要有遞歸算法、文法構圖算法、迭代函數系統算法、逃逸時間算法、分形演化算法等，同一數學表達式在不同算法條件下所得到的圖形有所不同。迭代函數系統算法和逃逸時間算法的應用較多。

1.迭代函數系統算法

迭代函數系統（Iteration Function System）最早是由Hutchison在1981年提出的。美國佐治亞理工學院的M F Bamsley等人在SIGGRAMPH85，SIGGRAMPH88國際會議上做了專題報告，使IFS成為分形圖像壓縮的基礎，從而使IFS成為分形圖形學最有生命力的領域之一。[6]

來看這樣一組函數方程：x’ =ax+by+c,y’ =dx+ey+f，稱此變換為仿射變換，其中x，y表示圖形變換前的坐標，x’和y’表示變換后的坐標，a～f為變換系數。對于一個仿射變換族{wn}來實現對某一圖形的變換，變換形式相同，變換系數不盡相同。也就是說仿射變換族{wn}中每一個仿射變換w被調用的概率P不同。從而，仿射變換系數a～f和概率P便組成了IFS算法最關鍵的部分。

2.逃逸時間算法

對于函數f(z)= z2+c，其中z和c都是復數。不妨先來考慮c=0的情況，設z=x+yi,則∣z∣= z2+y2 ，由復數的幾何意義可知，∣z∣的幾何意義是從原點到復平面上z點的距離。假設此方程以z0( x0, y0)開始迭代，已知∣f(z0)∣=∣z02∣+∣z0∣2：

(1)當∣z0∣<1時，在此區域中∣f(z0)∣<∣z0)∣，那么對f(z)= z2的每一次迭代，令zn+1=zn2，結果使得z向0收斂，或者說0是z的吸引子。

(2)當∣z0∣>1時，類似于上面的討論，我們會發現，經過迭代之后z會趨向于∞，也就是說，z向∞逃逸。

(3)當∣z0∣= x02+y02 ，z的軌跡則是平面上的單位圓。

于是，復平面便被分為兩個區域，一個區域使落在其中的點向0收斂，而另一個區域使落在其中的點向∞逃逸，它們的分界線便是f(z0)=1的單位圓。

當c≠0時，吸引子變為一個區域，被吸進去的點會遍歷整個區間，這個區域被稱之為混沌區。同時，混沌區和向∞逃逸的界線不再是單位圓，而成為一個不規則且不光滑的分界線。

根據上述的思想，可以進行這樣的假設：設有一個足夠大的整數N，如果初始點a從未逃逸區域S開始迭代，經過有限數次（N）迭代就達到逃逸區域S的邊界甚至超出了邊界，便可認為點a逃逸到逃逸區域S了；如果經過N次迭代后a的軌跡仍然落在收斂區域A內，則可以認為，a 是收斂區域A上的點。這就是逃逸時間算法的基本思想。[7]

（三）信息化處理

上述關于算法的處理是從數學上對分形的研究，它讓人們從最初的對分形的感性認識上升到理性的分析，從而為整個學科的完善奠定了理論基礎。而計算機技術的引用，使得分形的數學和藝術魅力更加閃耀。

分形誕生之日正是計算機技術大力發展之時，一方面計算機的應用大大推動了分形理論的發展，并由于計算機模擬成功展現的優美的分形圖像，迅速擴大了分形的影響；另一方面分形理論也推動了計算機圖像學的發展，分形與圖像研究的結合導致了分形圖像學的產生。

利用上述的各種算法思想，對不同的數學公式的算法演繹編譯成各種編程語言，如Matlab，VB，VC等等。選定算法后，對于設定的不同參數，通過一定的計算，若結果滿足某個條件就賦予某種色彩，否則賦予另一種色彩，這樣對于一定區域內的每個點進行控制，便可以形成一定的圖案，這樣的圖形便形象地反映了數學公式或數學算法的內在規律。

三、不盡長江天際流——分形對美的演繹

世界上從來就沒有無緣無故的美，也沒有無緣無故的愛。對分形美的衷愛絕不僅是一見鐘情，分形圖形所反映的規律以及對數學的完美演繹才是眾多數學家和藝術家為之輕狂的根本原因。那么分形的魅力究竟藏于何處，不妨一一演繹。

如圖4是函數f(z)=zn+c基于逃逸時間算法計算機模擬出來的。不難發現隨著變量z次數的變化，生成的分形圖的中心個數隨之發生變化。由函數自身的性質，方程f(z)=zn+c=0解的個數是n，每一個解都是相互獨立又彼此聯系的。不同的解周圍的非函數解相對于其距離最近的解便具有相同的性質，于是在分形圖上便通過相同顏色表現出來。通俗地講就是，n個解分布在一個中心周圍，即收斂于這個中心，而這n個解又作為二級中心，周圍分散著其他二級近似解，而這些二級近似解又作為三級中心，周圍分散著三級近似解，如此以至無窮，而其他與此無關的點并不收斂于任何中心，因而形成的分形圖是有界的。對此，分形圖形已初步詮釋了數學函數或公式的內在意義。

再以f(z)=z6+c為例，繼續探尋常數c=u+vi不同取值時圖形和數學公式的密切關系。由圖5至少可以總結下述三點：

1.當v不變時，存在值u0，使得當︱u︱>︱u0︱，u絕對值越大圖形中心范圍越大，圖形越分散；當︱u︱<︱u0︱，u絕對值越小圖形中心范圍越大，圖形越離散。

圖5 函數f(z)=z6+c的逃逸時間算法演繹分形圖

圖6 函數f( z )= z2+c 演繹的“矢車菊”圖案和自然界中的矢車菊

圖7 引入對數后演繹的“群燕共舞”圖案

2.當u不變時，存在值v0，使得當︱v︱>︱v0︱，v絕對值越大圖形中心范圍越大，圖形越分散；當︱v︱<︱v0︱，v絕對值越小圖形中心范圍越大，圖形越離散。

3.u的符號決定圖形內部的旋轉方向，u為正值時，為逆時針旋轉，反之為順時針旋轉。

當uv絕對值均小于1時，生成的圖形內容才可以相對豐富。經不完全歸納得知，f(z)=z6+c的u=0.5,-0.27--0.29 v=-0.81--0.9 時可獲得比較好的圖形效果。但是無論怎樣改變u、v的數值和符號，圖形的基本單元并不改變，u、v只是改變這些單元的大小和位置。所以可以根據需要任意改變參數的大小和方向，得到預想的效果。

1.對于函數f( z )= z2+c ，選擇迭代方式：xk+1=｜xk2-yk2+u︳ yk+1=｜2xk-yk+v︳在該函數中，如令常數項c=0，則方程f=0僅有唯一的解，以零點為中心的二維區域，在等半徑的區域內具有相同的斂散性，如圖6形象的反映了這一數學特征。令人意想不到的是，這樣一個函數經過迭代演化出來的圖形竟然如此神奇，它和自然界中的矢車菊圖案有著異曲同工之妙。

2.引入對數，改變迭代方式為 后，演繹生成的圖形如圖7：

引入對數之后，因為對數函數f(x)=lg/x/是關于y軸左右對稱的，擴展到兩個自變量x,y時，對稱區域變為四個，因為算法中是重復的迭代，因而，在每一個對稱區域內又分為四個次級對稱區域，如此以致無窮。這正是圖7中所反映的，四只燕子為一組，不斷相似的組合，構成一幅群燕共舞的場面。

3.引入三角函數。

（1）函數仍為f(z)=z2+c時，迭代方式為xk+1=p2tanx0-q2tan2y0，

yk+1=2pqtanx0tany0時的演繹圖形如圖9。該迭代方式中是將x,y取正切值之后作為復數z的實部和虛部進行迭代的。已經知道f(z)=z2+c=0圖形是圍繞兩個中心零點發散的，將自變量分別取正切值之后，函數的周期就變成了π，所有中心零點便會沿著x向和y向同時增加，反映在圖形上便是無數個自相似的小單元，這就是正切函數對圖形影響。

（2）迭 代方 式 為 xk+1=pxkcosyk，yk+1=qykcosyk時的演繹圖形如圖8。這一組迭代方式是隨機修改的，但卻無心插柳柳成蔭，經過設定的算法演繹生成的圖形如此炫彩：流暢的線條，豐富的色彩，上下左右嚴格的對稱與和諧，并且具有三位空間效果。因此，數學和美術還有很多更深的聯系等待我們去探究。

由此，分形不僅是一種科學，更可以作為一種藝術供人們欣賞。作為一個紐帶，將科學與藝術緊密相連。分形藝術以其自身獨特的視覺語言，加之科學技術的推陳出新，給人們呈現出了精美的畫卷，至極的視覺享受。

四、柳暗花明又一村——分形技術的應用

隨著數學分形理論和分形美學的不斷發展，這一交叉學科將以全新的形式滲透到人類科技進步與社會生活的各個方面，并引領更深入、更廣泛的創新與實際應用。

（一）創新服飾圖案設計

最原始、最質樸的原生態環境總會給藝術家們帶來數不清的靈感。我國民族傳統服飾中所蘊含的原生態美，是一種最單純、最干凈的美。這種來自原生態的美學精髓，如果結合數學分形，尋覓出其中的理性規律和變換趨勢，可使原生態的美獲得新的詮釋，獲得再生的希望，使之成為一種至高至凈的可持續發展之美。理性提煉原生態藝術帶來的靈感，經過分形處理可用于創新系列化服飾設計，如衣、帽、鞋以及其他相應的配飾的設計中，反映出一套完整的分形變換。在服裝展示的過程中，系統設計的分形圖案在服飾表演的過程中動態變換，理性表達，其價值在于反映數學與藝術結合的“大美”品質，展示傳統與現代相交融的最新手法。這種設計概念與技術應用定能推動服飾設計延展并升級，促進傳統服飾產業的更新換代。

（二）標識設計與信息防偽

分形美學圖案由公式、參數、色彩賦予、算法等諸多因素共同決定，因而分形圖案的具體生成結果是無限的。在知識產權得到高度保護的今天，在標識圖案的設計和商業信息防偽方面引入分形美學技術不失為一種發展趨勢。知識產權擁有者掌握著標識圖案的核心矢量、參數、方程，由此開發出的矢量圖形鎖，具有很強的保密性能，他人難以簡單拷貝偽造，而且一旦發生侵權訴訟案件，標識主權方擁有絕對的主動權。再說分形圖形絢麗多彩，變換無窮，對視覺具有極強的沖擊力，對產品標識也是一種無形的宣傳。分形美學應用為商標設計和使用注入高科技內涵，并為追究違法責任起到不可替代的作用。

（三）產品設計

產品設計涉及結構、外觀造型、色彩、工學功能以及包裝等，分形技術在產品設計方面的應用前景如下：分形圖不僅可在二維尺度上反映數學美的規律，三維空間里的分形處理，生成出立體幾何的最佳構成，產生出光滑流暢的表面過渡，有助于表現出人們靠想象力得不到的立體印象。那些我們未曾感知的造型若應用在工業產品的外觀設計上，不僅具有極高的藝術價值，還可以直接采用計算機程控，批量、標準化生產工業產品。色彩上可以直接利用分形中關于色彩賦予，配色效果是不可預測的，因而更具有創意的空間。并且，設計者還可靈活調整算法、顏色參變量等因子，這對于系列產品的創新設計更有意義。工學功能上，可以將關乎人體工學的相關公式編輯成分形程序，再應用到產品設計中，通過嚴謹的數學矢量定義將工學功能直接傳達到產品之中。分形在產品外包裝上的應用更加直接，分形圖所包含的抽象、和諧、奇異的美，本身就具有無窮的吸引力，完全可以在產品視覺傳達上留下濃墨重彩的一筆。

（四）公共設計

數學和藝術有著更多元功能的體現。如在公共場所的雕塑設計中，如果打破傳統的手工雕琢設計方法，將分形原理應用于雕塑的設計和制作中，采用現代化的加工設備，將可能開辟一片嶄新的藝術天地。這類設計已經不再局限在單純的藝術水平之上，作品的銘牌上可將所采用的數學公式、數學算法、色彩賦予等要素鐫刻其中，對于大眾知識普及和教育效果可能事半功倍。集藝術、知識為一體，反映學科交叉和技術融會的公共設計作品，不僅美化了城市公共空間，同時向公眾展示了現代科學技術的魅力。

（五）景觀設計

分形根據相似性的原理，很容易創造各種特殊的、意想不到的對稱規律；分形的漸變演化，很容易表現出由內向外的發散特點或由外及里的收斂效應，這種有別于傳統規整的幾何構成與展示，在園林和景觀設計中，也許是一種全新的嘗試。并且，分形最初的含義就是非局限的、由離散趨向集成，由隨意形成規律，既可反映自然，又能超越自然。那種無規律演化成有序，隨機匯合成圖案，恰恰塑造了變幻無窮、多姿多彩的景觀藝術。在現代景觀設計中融入分形的概念和手法，也許對傳統的景觀設計形成顛覆性的沖擊，展現現代技術強大的影響力。

（六）益智游戲設計

經濟社會的發展促進人的工作、學習的節奏不斷加快，追求高品位的休閑體驗，提高人的生活質量是現代人的需求，休閑文化必然應運而生。為忙碌的上班族、兒童、老人設計出新穎的休閑設施和器具，勢在必行。分形益智游戲正是基于分形算法原理所設計的休閑小游戲，無論是建立在二維的巧妙拼接變換，還是三維的自由組裝搭建基礎上的設計，益智游戲的內涵大大豐富。數學分形的自相似性、矢量界面的精確性，視覺傳達的新穎性，使之具有獨特的趣味性，對使用者產生極強的吸引力。數學分形益智游戲的創意魅力，就在于實現知識傳達與休閑娛樂的有機結合，達到寓教于樂的目的，應該是值得推崇、值得開發的創意產品。

圖8 （左） 正切函數引入后演繹的“創意廣場”圖案

結語

隨著現代科學與技術的不斷發展，學科交叉、技術集成逐漸成為一種主流趨勢。數學與藝術的交叉應該引起更多的注意，應該演繹出更多的成果。相信數學分形在不久的將來定會走進設計美學的領地，定會大大提升人類的生活質量，啟發人們深究科學的真諦，尋覓隱形的藝術的魅力！

[1]吳開朗.論數學美[M].北京：北京教育出版社,1993.

[2]Russell.The Study of Mathematics[J]Philosophical Essays,1910.

[3]蕭昌建,曾永成.分形:為科學與藝術結緣的精靈[J].成都大學學報(社會科學版),2006(5).

[4]尹玉亮,李培珍,康與云,顧宗磊.分形理論的發展概況及研究現狀[J].科技信息(科學教研),2007(15).

[5]曾文曲, 王向陽等. 分形理論與分形的計算機模擬[M]. 沈陽：東北大學出版社,2001.

[6]孫煒,陳錦昌. 應用迭代函數系統獲得分形圖形的簡易方法[J]工程圖學學報,2001（3）.

[7]孫博文.分形原理與算法[M].北京：科學出版社,2004.