模糊數學存在的問題及解決方法

劉開第，龐彥軍，周少玲

（河北工程大學不確定信息研究所，河北邯鄲 056038）

上世紀60年代，隨著模糊集合的出現，開啟了對非隨機不確定性的研究時代。模糊性是一種以“邊界不清”為特征的非隨機不確定性，模糊數學是描述和處理模糊性的理論與方法。

解決任何一種不確定性問題，都要在“不確定性定量表征”基礎上實現“不確定性轉換”。并且只有“定量表征”是合理的、符合實際的，不確定性轉換才可能是正確的、有用的。因為只有實現不確定性轉換才能解決要解決的不確定性問題，所以，“不確定性轉換”是不確定性研究中最具實質性的內容。

在研究隨機性時，“不確定性定量表征”和“不確定性轉換”并沒有引起人們的太多關注，因為在概率方法的公里體系下，“不確定性定量表征”就是假定當前隨機性服從哪一種“已知分布”，而“不確定性轉換”則歸結為確定已知分布的“聯合分布”。但是，對非隨機不確定性則不然，它不具有隨機性要求的“理想化”條件，因而沒有公理化體系支撐;對于不同類型的不確定性要選擇不同的“定量表征”方法，特別是，具有不同內涵的“不確定性轉換”，對應不同的實現轉換的計算方法。

實現“不確定性轉換”要解決兩個問題，一是揭示不確定性轉換的非線性轉換機理，二是給出實現不確定性轉換基于機理的非線性計算方法。

對于非隨機不確定性的研究雖然進行了數十年，但是鮮見從理論上研究“不確定性轉換”為什么是非線性轉換而不是線性轉換的原因，由于對不確定性轉換的非線性轉換機理普遍缺乏足夠認識，所以很難構建正確實現不確定性轉換的非線性計算方法，使得像模糊數學、層次分析法等一些重要的非隨機不確定性理論與方法，都把不確定性轉換的非線性轉換機理和實現不確定性轉換的非線性計算方法作為遺留問題留了下來。

模糊數學用模糊集合描述模糊信息，用論域U上模糊集合到論域V上模糊集合轉換來處理U上模糊信息。所以模糊集合轉換是模糊數學中的“不確定性轉換”。

模糊數學用“取大取小”模糊運算和“If…then”型模糊邏輯實現模糊集合的轉換。

“取大取小”是針對模糊集合另行定義的、并不是通常集合的運算性質，“取大取小”以信息損失為代價所以不是通常的數值計算，也不能應用數值推理邏輯。

“If…then”型模糊邏輯是針對“取大取小”模糊運算規定的一種推理規則，并不是通常的數值計算邏輯，也不能用于數值計算推理。所以，基于“取大取小”和模糊邏輯實現模糊集合轉換是一種專家系統，并不是數學計算。

因為支撐模糊集合轉換的不是數學計算，所以模糊數學沒有計算（指基于數值推理邏輯的數值計算）。因此，解決模糊數學的問題就是解決模糊數學沒有計算的問題，具體講是解決實現模糊集合轉換的數學計算方法問題。

數十年來，人們一直把模糊數學不用數學計算來處理模糊信息的做法，理解為是模糊數學的“特殊性”。只是近年來當人們慢慢意識到處理任何不確定性信息都是“確定的數學計算”的時候，才對模糊數學不用數學計算來處理模糊信息的做法提出質疑。但是，卻很少有人從正面研究:模糊集合轉換為什么不是線性轉換而是非線性轉換的原因，更未見從模糊集合轉換機理角度研究實現模糊集合轉換的非線性計算方法。

所以，要解決模糊數學的問題，就必須揭示模糊集合轉換的非線性轉換機理，研究實現模糊集合轉換的非線性計算方法。

1 解決模糊數學問題的途徑

非隨機不確定性和隨機性的實質性區別是，“不確定性轉換”呈現出顯著的個性化特點，因而不同類型的“不確定性轉換”對應不同的實現轉換的數學計算方法。

因為用“取大取小”和“模糊邏輯”這種輔助性支持條件抽象研究實現模糊集合轉換的做法使模糊數學偏離了數學計算的軌道，所以，解決模糊數學的問題必須拋開“取大取小”和“模糊邏輯”具體研究實現模糊集合轉換的數學方法。

注意到模糊集合是由模糊隸屬函數定義的，“模糊集合轉換”是基于隸屬函數的“不確定性轉換”，所以要揭示模糊集合轉換機理就不能停留在抽象的“有集不見集”的模糊集合上，而必須回到要求基于隸屬函數“定量表征”和基于隸屬函數“轉換”的、具體不確定性問題中去。只有這樣，才能檢驗基于隸屬函數的“不確定性定量表征”是否合理和基于隸屬函數的“轉換”是怎樣意義上的不確定性轉換;進而才可能揭示“不確定性轉換”的非線性轉換機理并具體構建實現“不確定性轉換”基于機理的非線性計算方法。這是解決模糊數學問題的惟一途徑。

因為本文的重點是揭示“不確定性轉換”的非線性轉換機理和構建實現“不確定轉換”基于機理的非線性計算方法。為此，不再詳述基于隸屬函數的“不確定性定量表征”，只做簡單描述。

2 基于隸屬函數的不確定性定量表征

2.1 基于隸屬函數定量表征的不確定性

已知影響目標G狀態的有m種指標，第j種指標的值域是Uj=［aj，bj］，也稱Uj為論域。若xj∈Uj，稱xj是指標j的監測值。

當指標j取監測值xj時，我們想知道此時目標G屬于 Ck（k=1，…，p）狀態等級的程度μjk，由于狀態的連續性，因而μjk不是只取0與1的二值數而是［0，1］區間上的實數，這樣，確定μjk則有無法回避的不確定性（也稱模糊性）。

在Uj=［aj，bj］上用構造隸屬函數的方法來確定μjk的“不確定性”，那么一旦構造了隸屬函數（t）（k=1，…，p，tj∈［aj，bj］），那么 μjk就是函數（t）在點t=xj的函數值，因而是已知的。這樣就可用一個向量（μj1，…，μjp）來定量表征當指標j取值xj時，目標原本具有的不確定性狀態。

2.2 隸屬函數的可測空間結構與代數性質

稱μjk=（t）（xj）為指標j取監測值xj時目標G屬于Ck狀態等級的隸屬度，也稱μjk指標j的k類隸屬度。這樣可用隸屬度向量

定量表征當j取xj時目標G原本具有的不確定性狀態;由“非負性、可加性、歸一性”知μjk滿足

并且m種指標提供的、反映目標G狀態的分類信息可表為一個m×p矩陣

稱U（G）為目標G的狀態轉移矩陣。其中j行k列元素μjk意義如前。

顯然，目標G的狀態轉移矩陣U（G）包含了m種指標提供的、反映目標G狀態的全部分類信息。

決策目的是，確定目標G在m種指標綜合影響下屬于Ck狀態等級的隸屬度μk（G）。

由條件知，目標G的狀態由m種指標決定，所以當m種指標提供的、反映目標G狀態的分類信息確定后，目標G的狀態也隨之確定。所以客觀上一定存在一種計算方法，可依據G的狀態轉移矩陣確定目標G屬于Ck狀態等級的隸屬度μk（G）。因為算法是客觀存在的，所以一定是機理的。

稱確定μk（G）的過程為由指標隸屬度到目標隸屬度的轉換，簡稱隸屬度轉換。

到獲得目標狀態轉移矩陣為止，完成了基于隸屬函數的不確定性定量表征，并把“不確定性轉換”具體化為:從狀態轉移矩陣出發實現由指標隸屬度到目標隸屬度的轉換。

余下的問題是，揭示隸屬度轉換的非線性轉換機理，并由此構建實現隸屬度轉換的非線性計算方法。

注1 σ代數A是由狀態空間C的一種劃分{C1，…，Cp}生成的、對集合的“補運算、可列并運算”都封閉的集合，顯然C?A。

注2 可測空間是指由狀態空間C和C上的σ代數A構成的空間（C，A）。

注3 隸屬函數的“非負性”是指，任意xj∈［aj，bj］和σ代數A中任意集合 A，則目標G屬于類A的隸屬度（xj）滿足0≤（xj）≤1。

“可加性”是指，任意 xj∈［aj，bj］和任意 Ai∈A，當 A1∩A2=? 時，則

“歸一性”是指，任意 xj∈［aj，bj］和任意 Aj∈A，若 Ai∩Ak=?（i≠k）且 ∪Ai=C 時，則

3 隸屬度轉換的難點分析

1）當m=1時

當只有一種指標j影響目標G的狀態時，顯然μk（G）=μjk。隸屬度轉換是直接轉換的其合理性在于:指標j提供給目標G的分類信息是目標G所能獲取到的惟一也是全部的分類信息。

2）當m≥2時

此時，目標G同時從m種指標那里獲得分類信息，如使G屬于Ck狀態等級的隸屬度就有m個不盡相同的數值:μ1k，μ2k，…，μmk，因為我們不知道在確定μk（G）的過程中這m個不同數值之間究竟會產生怎樣的“耦合效應”，所以沒有理由認為這些不同數值之間的運算一定是線性的，因此無法由μjk具體計算μk（G）。

實際上，我們之所以不知道如何用μjk來計算μk（G），是因為我們不知道在μjk中“是否包含”和“包含多少”對確定μk（G）來說是不起作用的冗余值。

事實上，不管選擇怎樣的一種算法由μjk來計算μk（G），都必須清除:μjk中可能存在對G分類來說是不起作用的冗余值，否則，計算將無法進行。

那么，怎樣才能知道μjk中“是否包含”和“包含了多少”對于目標G分類來說是不起作用的冗余值呢?

為此，進行如下推理與計算。

4 區分權概念及相關定理

4.1 區分權概念

從目標G的狀態轉移矩陣U（G）出發，進行如下計算。

計算

其中Hj（G）是熵，稱ωj（G）是j指標關于目標G的區分權。

顯然區分權ωj（G）滿足

4.2 區分權的意義與作用

區分權的直觀意義是，指標j提供給目標G的分類信息能把G所屬類別“區分開”的程度。

比如，ωj（G）越大則熵越小，熵Hj（G）越小則μjk對k而言取值越集中，對k取值越集中時說明j提供給G的分類信息越有傾向性，因而對G的分類做出的貢獻越大。極端情況是，若ωj（G）取最大值時則熵Hj（G）=0，由熵的性質知此時必有一個μjk=1，其余的全為0;所以j提供給G的分類信息是:單從j看，目標G確定地屬于Ck狀態等級。顯然，此時j對G分類做出最大貢獻。

因為當ωj（G）=0時，j提供給目標G的隸屬度是對G分類不起作用的冗余隸屬度，因而不能參與計算μk（G）。

由此發現一個重要的事實:參與計算目標隸屬度μk（G）的并不如直觀想象的那樣是各j指標的 k 類隸屬度 μjk，而是 ωj（G）·μjk。

4.3 基于區分權的相關定理

定理1 如果指標j的區分權ωj（G）=0，則j指標是對目標G分類不起作用的冗余指標。

證明 當ωj（G）=0時，熵Hj（G）=lgp，由熵的性質知此時必有

因為j提供給G的分類信息沒有傾向性，所以是對j分類不起作用的冗余信息，因而j是對G分類不起作用的冗余指標。

定理2 （冗余性定理）在目標G的狀態轉移矩陣中，如果至少有兩個行向量對應的區分權不為0，則每種指標提供給G的分類信息中必包含對G分類的冗余值μjk（1－ωj（G））。

證明 因為至少有兩種指標的區分權不為0，說明向目標G提供有效分類信息的指標數m≥2。當m≥2時，則區分權ωj（G）＜1，所以任一j指標的冗余值μjk（1－ωj（G））都不恒為0。

推論1 指標j提供給目標G的分類信息中不含對目標分類冗余值的充要條件是指標數m=1。

上述論證表明，區分權ωj（G）的實質性作用是濾波，它可濾掉指標隸屬度中對目標分類不起作用的冗余值并提取有效值用于計算目標隸屬度。

定理3 （非線性轉換定理）如果在目標G的狀態轉移矩陣U（G）中，至少有一個行向量沒有取值為1的分量并且至少有兩個行向量對應的區分權不為0，那么，由指標隸屬度到目標隸屬度的轉換必是非線性轉換。

證明 因為狀態轉移矩陣U（G）中至少有一個行向量沒有取值為1的分量，說明不會因為每個行向量都有一個分量為1其余分量均為0而使確定區分權的計算都退化為線性計算;又因為至少有兩個行向量對應的區分權不為0，說明在m種指標中至少有兩種向目標G提供有效的分類信息，說明影響目標狀態的指標數不會退化為m=1而使隸屬度轉換簡化為直接轉換。所以，在定理條件下，由指標隸屬度到目標隸屬度的轉換是非線性轉換。

推論 如果狀態轉移矩陣U（G）中，每一個行向量都是表示“確定狀態”的向量（即每個行向量都有一個分量μjk=1而其余分量均為0），則由指標隸屬度到目標隸屬度的轉換是線性轉換。

該推論的價值在于它揭示了一個基本事實:隸屬度轉換的非線性源于單指標下目標狀態的不確定性。它揭示了在非隨機不確定性理論中，不確定性轉換與非線性之間的聯系。

5 隸屬度非線性轉換算法與轉換模型

從目標G的狀態轉移矩陣出發，計算目標隸屬度的步驟如下:

步驟1 由公式（4）、（5）、（6）計算指標區分權ωj（G）。

步驟2 計算

稱ωj（G）·μjk是j的k類有效值。

步驟3 計算

稱λj（G）·ωj（G）·μjk是j的k類可比值，其中λj（G）是j指標關于目標G影響的重要性權重，并滿足:

之所以用j的重要性權重壓縮j的k類有效值ωj（G）·μjk，是為了保證壓縮后得到的“λj（G）·ωj（G）·μjk”對不同的j指標具有可比性和直接可加性。

步驟4 計算

稱Mk（G）是目標G的k類可比和。

顯然，Mk（G）越大時說明目標G屬于Ck類的可能性越大。

步驟5 計算并定義

顯然由（11）式定義的μk（G）滿足:

所以μk（G）是目標G屬于Ck類的隸屬度。

至此，從目標G的狀態轉移矩陣出發，經過5個步驟確定了目標隸屬度μk（G），實現了由指標隸屬度到目標隸屬度的轉換。轉換模型記為M（1，2，3）;其中“1”表示區分權濾波，“2”表示將有效值轉換為可比值，“3”表示由可比值實現隸屬度轉換。

上述從狀態轉移矩陣出發實現隸屬度轉換過程，不需要增加任何先驗知識和輔助性支撐條件，也不造成已知的分類信息損失或信息失真，用的工具是基于數值推理邏輯的數值計算。顯然這與通過增加“取大取小”運算與“If…then”型模糊推理邏輯等輔助支撐條件實現模糊集合轉換的做法是本質不同的。

推論 如果狀態轉移矩陣U（G）中每個行向量都表示確定狀態（即每個行向量中都有一個分量 μjk=1其余分量均為 0），則 M（1，2，3）模型將退化為“加權平均”模型M（·，+）。

這就是熟知的“加權平均”模型M（·，+）。

推論的價值在于，從計算機理上證明，“加權平均”線性模型正確性的條件是:單指標下表征目標狀態的“歸一化”向量都是表示“確定狀態”的向量（即向量中有一個分量為1其余分量均為0）。

實際上，由于諸多不確定因素的影響，目標在單指標下的狀態通常都是“不確定的”，表現在:當用一個“歸一化”向量定量表征這種“不確定性”狀態時，向量中沒有取值為1的分量。

但是，實際應用中，絕大多數都是把線性的“加權平均”模型用于實現“不確定性”狀態轉換［1－5］。

6 應用例

某慣性導航系統仿真可靠性評價指標體系，構成一個如表1所示的三層遞階層次結構。由于確定底層指標所屬評價等級的程度具有無法回避的內在不確定性，所以基于層次分析法的多級模糊模型，成為優勢評價模型。

文獻［1］用層次分析法確定二、三層指標的重要性權重，見表1中各項指標后括號中的數字;評價分為“高、較高、一般、低”4個評價等級，分別用C1，…，C4表示;統計專家評分，并根據評分構造規范隸屬函數的方法，確定各項底層指標關于4個評價等級的隸屬度向量，見表1中最后一列的4維向量。在表1中所示條件下，試確定該慣性導航系統仿真可靠性的評價等級。

易見，由結構下層被支配指標隸屬度確定結構上層支配指標隸屬度，都是M（1，2，3）模型的一次實現。基于M（1，2，3）模型的評價步驟如下:

表1 慣性導航系統仿真可靠性評價指標體系［1］Tab.1 Reliability evaluation hierarchical structural of simulation for INS

步驟1計算中間指標的隸屬度向量。以計算A1（數學模型檢驗）的隸屬度向量為例。

A1的狀態轉移矩陣為

由 U（A1）經 M（1，2，3）的計算得，A1的隸屬度向量為 μ（A1）=（0.444 7，0.300 0，0.155 3，0.100 0）。同理可得 A2、A3、A4的隸屬度向量 μ（A2）、μ（A3）、μ（A4），連同 μ（A1）一并構成系統仿真可靠性Z的狀態轉移矩陣U（Z）

步驟2計算頂層總目標Z的隸屬度向量。依據矩陣U（Z），按照與（1）同樣步驟可得的隸屬度向量為

步驟3識別。因為可靠性等級劃分有序，如Ck類優于Ck+1類，所以適用于無序劃分的最大隸屬度識別準則不適用，改用置信度識別準則［6］。

設 λ（0.5＜λ ＜1）為置信度，計算則判 Z屬于 Ck0評價等級，且有不低于 λ的置信度。

本例中判Z屬于C2等級并且有不低于67%（0.45+0.229 8 ＞0.67）的置信度。

7 結論

1）當用構造規范化隸屬函數的方法確定目標在單指標監測值下屬于Ck狀態等級程度的不確定性，進而用隸屬度向量定量表征目標在單指標下的不確定性狀態，則可把模糊數學中通過模糊集合轉換來確定目標在多指標下的不確定狀態具體化為實現由指標隸屬度到目標隸屬度的轉換。

2）隸屬度轉換是非線性轉換，通過揭示隸屬度轉換的非線性轉換機理構建實現隸屬度轉換的非線性數學計算方法，不但處理了模糊信息，也展現了模糊數學本應具有的數學計算。

3）如果只是表征和處理模糊信息，則未必需要采用隸屬函數去定義一種“有集不見集”的模糊集合概念，至少不用為了實現模糊集合轉換去人為規定一種“取大取小”模糊運算和“If…then”型模糊邏輯，因為后者正是導致模糊數學失去計算的原因。

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