直覺模糊層次分析法

高紅云，王 超，哈明虎，3

（1.河北大學(xué)管理學(xué)院，河北 保定 071002;2.河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北保定 071002;3.河北工程大學(xué)經(jīng)管學(xué)院，河北邯鄲 056038）

層次分析法是Saaty［1］提出的一種定性和定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則系統(tǒng)分析決策方法。層次分析法通過明確問題，建立層次結(jié)構(gòu)模型，構(gòu)造判斷矩陣，層次單排序和層次總排序五個(gè)步驟計(jì)算各層次構(gòu)成要素對(duì)于總目標(biāo)的組合權(quán)重，從而得出不同可行方案的綜合評(píng)價(jià)值，為選擇最優(yōu)方案提供依據(jù)［2］。在綜合評(píng)判各因素權(quán)重分配時(shí)，層次分析法僅憑經(jīng)驗(yàn)根據(jù)因素的重要性直接給出權(quán)重值，或僅考慮專家判斷的兩種極端情況，而沒有考慮專家判斷的模糊性，難以做到客觀準(zhǔn)確［3］。基于此，一些學(xué)者在Zadeh［4］建立的模糊集理論基礎(chǔ)上將模糊思想和方法引入層次分析法中，提出了模糊層次分析法［2］，并已成功應(yīng)用于投資決策等領(lǐng)域［5］。然而，模糊層次分析法在一些現(xiàn)實(shí)決策問題中存在一定的局限性。例如，模糊層次分析法中的模糊集能在一定程度上表示決策者對(duì)研究對(duì)象的主觀判斷，但不能精確表達(dá)棄權(quán)或猶豫不決的情況。為了解決此類問題，Atanassov［6－7］在Zadeh的模糊集的“亦此亦彼”的模糊概念基礎(chǔ)上增加了一個(gè)新的參數(shù)—非隸屬函數(shù)建立了直覺模糊集，在處理上述不確定性方面更具靈活性和實(shí)用性。本文將直覺模糊集思想應(yīng)用于層次分析法中，建立了直覺模糊層次分析法，擴(kuò)充和發(fā)展了模糊層次分析法。

1 直覺模糊集相關(guān)知識(shí)

定義1［6－7］假設(shè) X 是一個(gè)非空經(jīng)典集合，A={＜ x，μA（x），vA（x）＞ |x∈X}，X={x1，x2，…，xn}的三重組稱為直覺模糊集，其中 μA（x），vA（x）分別表示X中的元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度。且 μA∶X→［0，1］，vA∶X→［0，1］，0≤μA（x）+vA（x）≤1，x∈X。在X的每一個(gè)直覺模糊集中稱 πA（x）=1－μA（x）－vA（x）為x屬于X的猶豫度即不確定程度，且0≤πA（x）≤1，x∈X。

定義 2［6－7］設(shè) a1，a2是一個(gè)給定的論域上的兩個(gè)直覺模糊數(shù)，其中 a1=（μ1，v1），μ1∈［0，1］v1∈［0，1］并且 μ1+v1∈［0，1］;a2=（μ2，v2），μ2∈［0，1］，v2= ∈［0，1］并且 μ2+v2∈［0，1］，并設(shè) λ為實(shí)數(shù)且λ≥0，定義直覺模糊數(shù)的運(yùn)算如下:

定義3為了得到權(quán)重大小比較，我們定義了新的得分函數(shù)為

2 直覺模糊層次法模型

2.1 建立層次結(jié)構(gòu)體系

對(duì)于項(xiàng)目的決策需要考慮很多因素，將其影響因素進(jìn)行分層得到層次結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。

2.2 建立直覺模糊互補(bǔ)判斷矩陣

定義5直覺模糊層次分析中，對(duì)屬性之間進(jìn)行兩兩比較其重要程度得到直覺模糊判斷矩陣A=（aijm×n，aij=（μij，vij，（i，j=1，2，…，n），稱為直覺模糊互補(bǔ)判斷矩陣，若滿足如下性質(zhì):

1）μii=0.5，i=1，2，…，n。

2）若 aij=（μij，vij），aij=（μji，vji），i，j=1，2，…，n;則必有 μij+μji=1。

為了對(duì)屬性之間的重要程度進(jìn)行定量的描述，我們可以定義標(biāo)度，如表1所示。

表1 屬性重要程度定義的標(biāo)度表Tab.1 Table of scale the importance of the attribute

2.3 直覺模糊互補(bǔ)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)

直覺模糊互補(bǔ)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)直接根據(jù)隸屬度構(gòu)成的判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)得到。根據(jù)徐澤水［9］推導(dǎo)出的求解模糊互補(bǔ)判斷矩陣權(quán)重的公式來(lái)求解權(quán)重

并利用文獻(xiàn)［10］推導(dǎo)出的相容性來(lái)檢驗(yàn)權(quán)重公式的合理性。

定義 6 設(shè)矩陣 A=（aij）m×n，B=（bij）n×n均為模糊判斷矩陣，則稱A和B的相容性指標(biāo)為

當(dāng)相容性指標(biāo)I（A，A*）≤0.1時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣A為滿意一致的。進(jìn)而，我們近似地認(rèn)為相應(yīng)的直覺模糊判斷矩陣也是一致的。

2.4 直覺模糊判斷矩陣權(quán)重確定

根據(jù)式（2）進(jìn)行直覺模糊加權(quán)計(jì)算得

2）二級(jí)屬性綜合權(quán)重確定。設(shè)k個(gè)專家對(duì)二級(jí)指標(biāo)屬性i與j對(duì)于一級(jí)屬性指標(biāo)r（r=1，2，…，n）的重要程度的直覺模糊判斷矩陣為=（）m×m，=）i，j=1，2，…，m，（l=1，2，…，k;r=1，2，…，n），其中、分別表示決策者l對(duì)二級(jí)屬性i與j相比較的重要和不重要程度。

由（4）求出二級(jí)屬性對(duì)一級(jí)屬性的加權(quán)相對(duì)權(quán)重為 σ =（σij）t×m，σij=（μij，vij，l=1，2，…，t;j=1，2，…，m。

根據(jù)（5）一級(jí)屬性權(quán)重對(duì)二級(jí)屬性綜合加權(quán)到二級(jí)屬性的綜合屬性值為σ（2）=（σ（1））Tσ。

由公式（6）、式（7）求得二級(jí)指標(biāo)的綜合權(quán)重為（σ（2））T=（σ1，σ2，…，σm）。

2.5 最終評(píng)價(jià)計(jì)算

假設(shè)有t個(gè)可供選擇的項(xiàng)目方案，有k個(gè)專家根據(jù)二級(jí)屬性對(duì)這些方案進(jìn)行決策得到k個(gè)直覺模糊判斷矩陣=（）m×k，=，），i=1，2，…，m，j=1，2，…，k，l=1，2，…，t。

3 算例

假設(shè)有3個(gè)專家對(duì)三個(gè)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)大小進(jìn)行評(píng)價(jià)，假設(shè)專家的評(píng)價(jià)權(quán)重為（0.5，0.3，0.2）。

第一步:建立風(fēng)險(xiǎn)層次結(jié)構(gòu)圖。假設(shè)一級(jí)屬性指標(biāo)包括三個(gè):技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、管理風(fēng)險(xiǎn);二級(jí)指標(biāo)包括四個(gè):資源環(huán)境、設(shè)計(jì)施工、政策風(fēng)險(xiǎn)、管理組織。

第二步:一級(jí)屬性權(quán)重確定。三個(gè)專家對(duì)一級(jí)屬性指標(biāo)兩兩重要程度評(píng)價(jià)矩陣如下:

二級(jí)指標(biāo)相對(duì)于一級(jí)指標(biāo)A1相互比較的重要程度評(píng)價(jià)矩陣為

二級(jí)屬性相對(duì)于一級(jí)屬性A2兩兩比較評(píng)價(jià)矩陣為

二級(jí)屬性相對(duì)于一級(jí)屬性A3兩兩比較評(píng)價(jià)矩陣為

各決策者對(duì)項(xiàng)目關(guān)于二級(jí)屬性滿足程度評(píng)價(jià)矩陣為

屬性加權(quán)計(jì)算得

第三步:利用上述直覺模糊層次分析步驟進(jìn)行決策。

首先，一級(jí)指標(biāo)的重要程度的語(yǔ)言變量轉(zhuǎn)化為直覺模糊數(shù)并計(jì)算得到一級(jí)屬性單因素直覺模糊權(quán) 重 為 （σ（1））T= ［（0.340 1，0.319 6）（0.373 5，0.271 8）（0.286 8，0.406 2）］，計(jì)算得分并歸一化得到以及屬性權(quán)重為（σ（1））T=（0.338 5，0.358 5，0.303 0）。

然后根據(jù)上述評(píng)價(jià)判斷矩陣通過計(jì)算得到二級(jí)屬性的單因素決策加權(quán)后權(quán)重向量矩陣:

一級(jí)屬性權(quán)重加權(quán)并歸一化后得二級(jí)屬性綜合權(quán)重為 σT=（0.250 5，0.253 2，0.246 9，0.249 4）。

最后計(jì)算得項(xiàng)目最終得分為H（d1）=0.776 6，H（d2）=0.756 8，H（d3）=0.763 3，H（d4）=0.780 7，H（d5）=0.808 5，H（d6）=0.775 6。

綜上可知H（d5）＞H（d4）＞H（d1）＞H（d6）＞H（d3）＞H（d2），故應(yīng)選擇項(xiàng)目5。

4 結(jié)論

本文將直覺模糊集和模糊層次分析法相結(jié)合，建立了直覺模糊層次分析法的數(shù)學(xué)模型。直覺模糊層次分析法是模糊層次分析法的一種重要推廣，它在處理不確定性方面更具靈活性和實(shí)用性。

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