智能桁架作動器數目與位置的多目標優化

張世君，張京軍，何麗麗，高瑞貞

（1.河北工程大學 土木學院，邯鄲 056038;2.河北工程大學機電學院，邯鄲 05603）

桁架結構在太空中運行時，受空間環境等因素的影響，不可避免的產生結構變形，影響航天結構的精度。近年來出現的層疊型壓電作動器由于體積小、工作電壓低、位移量大等特點在智能桁架中得到廣泛應用。然而，在智能桁架中如何布置合適的作動器數目與位置是多目標優化問題，任建亭［1］、咸奎成［2］采用固定加權系數方法優化此類多目標問題。但由于各個目標的權重系數由人為確定，所以優化的結果存在著主觀性。基于遺傳算法的隨機權重方法［3］通過遺傳算法隨機的確定各目標的權重系數，可以在一定程度上避免人為因素影響產生的優化偏差，王曉晴［4］等將隨機權重應用于生產系統多目標決策問題，李瑞敏［5］等將隨機權重方法運用在交通多目標控制方面。本文基于隨機權重的方法優化智能桁架作動器的數目和位置，以減少固定加權系數方法存在的人為主觀性，并對遺傳算法進行改進，以加快遺傳算法的收斂速度。

1 模型建立

層疊型壓電作動器由多個幾何物理參數相同的壓電陶瓷片組成（圖1），作動器中的各個壓電陶瓷片采用并聯電路（圖2），既有一定位移輸出量，又可以承受一定的荷載。設作動器中的壓電陶瓷片共有s個，則在理想情況下總的位移輸出Δ為

基于式（1）可以推出壓電作動器內部軸向力為

壓電桁架中各個桿件在外荷載和電壓下的承受的力為

式中 Fi，u—桿件 i的總軸力;Fi，0—桿件 i僅在外荷載作用時的軸力;a—作動器的位置變量，當a=1或ai=0時分別表示桿件i處布置和不布置作動器，∑ai（i=1，2，…，n）表示配置的作動器數目。

普通桁架節點位移公式［6］為

基于式（3）得壓電桁架節點位移公式為

將式（3）帶入式（5）得:

桁架節點偏離平衡點越小則桁架的變形越小，因此位移的目標函數應為位移的模，即abs（Δ）。作動器優化配置的數學模型可表示為

2 多目標求解

壓電桁架作動器數目和位置優化的理想結果是，作動器配置數目和節點位移最小，且作動器在桁架中布置的位置最優。然而桁架中配置的作動器數目和位置影響結構節點位移，相應的結構位移的大小又影響配置的作動器數目和位置，因此桁架作動器的數目和位置優化是多目標優化問題。傳統的固定權重方法由人為確定各個目標的權重系數，存在很大的主觀性。隨機權重的方法通過隨機的方法生成各個目標函數的權重系數，并且每計算一次目標函數f（x）便隨機的產生新的一組權重系數，從而在很大程度上避免了主觀性。計算公式如下

式中ri、rj—非負隨機數;P—多目標的數目。將多目標轉化為單目標后目標函數為

3 遺傳算法應用與改進

遺傳算法是依據達爾文的生物進化論為啟發，基于優勝劣汰、適者生存的一種優化方式，包括編碼、適應度計算、選擇、交叉、變異等過程。遺傳算法具有對問題依賴小，依據概率來指導搜索方向等特點，但也存在收斂過程慢和早熟等諸多問題［7－8］，本文針對遺傳算法早熟和收斂遲鈍的問題對選擇算子進行改進。

3.1 編碼與解碼

編碼是遺傳算法首先要解決的問題，也是遺傳算法設計的關鍵步驟。本文根據優化問題的特點采用二進制編碼，按桁架的桿件編號從左到右排列染色體基因碼，編碼的長度為桁架中桿件的數目。以12桿桁架（如圖3）為例，個體的染色體長度為桿件的數目12，如果經過編碼得某個個體的染色體為100001011000，則表示智能桁架共布置4個作動器，位置分別為1、6、8、9桿件處。

3.2 適應度

遺傳算法的適用度表示群體中各個個體在優化計算中能達到或有助于找到最優解的優良程度。適應度較高的個體遺傳到下一代的概率較大，而適應度較低的個體遺傳到下一代的概率相對較小。

本文將適應度函數定義為:

3.3 遺傳算子改進

遺傳算法中有選擇、交叉和變異3個算子。其中，選擇算子通常是根據適應度大小采用輪盤選擇的方式進行選擇，但容易引起早熟和搜索遲鈍等問題。本文在輪盤選擇的基礎上對選擇算子進行改進，當判斷各個染色體過于近似時增大變異概率，從而產生不同數目的大量后代，增加基因的多樣性。

交叉操作是遺傳算法中主要的遺傳操作之一，通過交叉可以得到新一代個體，而新個體中組合了父代的個體特征。交叉操作的過程是以群體內的各個個體為父代隨機搭配成對，并對搭配成對的父代個體之間以一定的概率交換部分染色體，形成的新個體為子代，具體如下:

父代A:10010|0101|101

父代B:00110|1001|001

子代 A＇:10010|1001|101

子代 B＇:00110|0101|001

變異是對群體中的每一個個體，以一定變異概率改變一個或某一些基因座上的基因值為其他的等位基因，形成的新的個體為子代，具體如下:

父代C:110011011101

子代 C＇:111010011101

4 算例

12桿的平面桁架，左端鉸接，右端自由（圖3）。桿件材料彈性模量為70 GPa，允許應力為±20 MPa，各桿件橫截面積均為1 cm2。作動器材料彈性模量為72 GPa，采用40片壓電陶瓷組成壓電陶瓷堆，允許軸力為2 kN，作動因子為6×10－10m/V，允許電壓為150 V，外荷載100 N作用在節點5，方向向下。

表1 桿件軸力Tab.1 Axial force of every bar N

5 結論

1）運用隨機權重的方法將智能桁架作動器數目與位置的多目標優化問題轉化為單目標優化問題，避免了固定權重系數方法存在的人為因素影響。

2）在輪盤選擇的基礎上對遺傳算法的選擇算子進行改進，當判斷各個染色體過于近似時增大變異概率，從而產生不同數目的大量后代，增加基因的多樣性。應用改進后的遺傳算法對智能桁架作動器數目與位置的多目標優化問題進行求解，收斂速度快，繁殖代數少，有較好的計算效率。

［1］任建亭，閆云聚，姜節勝.振動控制傳感器/作動器的數目和位置優化［J］.振動工程學報，2001，14（2）:237－241.

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［3］CHENG R，M GEN.A survey of genetic multi－objective optimizations［R］.Ashikaga:Ashikaga Institute of Technology，1998.

［4］王曉晴，唐加福，宮俊，等.基于隨機權重多目標遺傳算法的多目標動態單元構建方法［J］.管理學報，2008，5（4）:16－52.

［5］李瑞敏，陸化普.基于遺傳算法的交通信號控制多目標優化［J］.長安大學學報:自然科學版，2009，29（3）:85－88.

［6］龍馭球，包世華.結構力學Ⅰ［M］.3版.北京:高等教育出版社，2006.

［7］李京濤，何麗麗，高瑞貞，等.改進遺傳算法在桁架拓撲優化中的應用［J］.河北工程大學學報:自然科學版，2009，26（3）:19－21.

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