GM（1，1）模型改進算法及其應用研究

李 宏 坤， 趙 長 生， 郭 騁， 趙 利 華

（1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

所謂預測就是將歷史數據進行數學建模，借助數學模型進行外推，將模型的外推值作為真實值的參考的過程.而機械設備壽命預測是指根據歷史監測結果進行分析，估計設備故障可能發生的時間，以便主動掌握設備運行狀況.設備壽命預測對于減少設備維修成本和提高生產效益具有重要實際意義.

目前，機械設備壽命預測方法主要包括損傷積累法和特征參數法.影響機械設備壽命的因素不但較多而且變化復雜，且損傷積累預測方法的分散性較大[1]，所以損傷積累預測方法在機械設備壽命預測中難以實現.特征參數預測方法是壽命預測的研究方向之一，其關鍵是特征提取和參數的建模方法.特征參數預測方法較多，如灰色理論預測、模糊預測、神經網絡預測、混沌預測、回歸預測、時間序列預測等.可以說，沒有一種方法能夠預測所有序列，每一種預測方法都有各自的適用范圍和局限性[2].

GM（1，1）模型是灰色預測理論中最具有代表性的基礎內容，具有貧信息、高精度、簡機理等建模特點，已在機械設備壽命預測[3、4]等各個方面得到廣泛應用并取得了不錯的效果[5、6].但是傳統GM（1，1）預測模型也并非完美，其最大不足就是預測偏差大，適用范圍窄.為了提高此方法在機械設備預知維修中的實用性，本文對GM（1，1）的預測模型進行改進算法研究.

1 GM（1，1）模型建模機理

設滿足建模條件的原始序列為X（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，則 1－AGO（一 次累加生成）序列為

求解方程（2）并將其解在離散情況下描述：

觀察式（3）可知，只有解出C、a和u方可得到序列的預測值.

將式（2）在區間 [k，k＋1]積分得

取背景值

則式（5）可以表示為

其中

通過分析發現，傳統GM（1，1）模型推導過程存在三點不足.一是未對原始序列做預處理.分析式（9），GM（1，1）模型序列具有指數發展規律，故原始序列的發展趨勢對GM（1，1）模型的擬合及預測精度具有一定的影響.二是背景值的求解方法有待進一步完善.事實上，原始序列間隔越小、1－AGO變化越平緩，誤差就會越小.當原始序列速度增長較快時，則會產生較大的滯后誤差.三是初始值選取不合理也是傳統GM（1，1）建模過程產生誤差的根源之一[7]，并且沒有考慮參數x（1）（1）對參數a、u的影響.通過分析式（6）發現，如何確定x（1）（1）的值也會影響后續的預測精度.

2 一種新的GM（1，1）模型的提出

對于不滿足要求的原始序列，采取加權預處理.經研究，改善原始序列光滑度和構造更為合理的背景值均可減少滯后誤差，對于背景值構造過程中的誤差改進，許多文獻已給出卓有成效的改進方法[8～10]，考慮到根式變換方法簡單易行，并且其逆變換具有還原誤差的獨立性，本文選擇根式變換方法減少滯后誤差帶來的影響.對于初始值＾x（1）（1）的選擇，本文在文獻[7、11]的基礎上，充分考慮x（1）（1）對參數C、a、u的影響，給出一種基于最小平均相對誤差的GM（1，1）改進算法，新的求解方法如下.

將式（10）代入式（9）得

假定

求出令S達到極小值的參數m，進行式（4）～（9）步驟.綜上，改進GM（1，1）預測模型步驟如下：

（1）原始序列預處理；

（2）1－AGO獲得生成列；

（3）對生成列做根式變換；

（5）還原并檢驗.

3 實例分析

3.1 指數型增長序列

取指數型增長序列為X（0）＝ ｛1.34986，1.82212，2.45960，3.32012，4.48169｝，由于數據為指數型增長數據，直接進行步驟（2）～（5）.改進算法與文獻[7、8]方法對比結果見表1.

分析表1，改進算法（Ⅱ）的結果是最好的.可以驗證，對于指數型增長數據，隨著根式節次的增大，改進算法的誤差將會進一步減小.

3.2 一般型增長序列

為便于說明，原始序列取文獻[12]中1972～1982年全國電視機產量數據.經分析，原始序列為一般增長規律的序列，且最后一個數據不符合整體增長趨勢.但對于預測來說，新信息是最有價值的，本文將1979～1981年的產量數據分別乘以權重2/3做加權預處理.傳統GM（1，1）建模方法的平均誤差高達263.17%，改進算法、文獻[8]和文獻[12]方法結果見表2.

表1 指數型增長序列Tab.1 Exponential increasing series

表2 一般型增長序列Tab.2 General increasing series

與普通序列相比，改進算法（Ⅱ）對于指數規律較強的序列尤為有效，對于非指數規律序列，可以在實際應用中擇優建模.不管使用哪種方法，其精度都要遠高于傳統模型.同時，改進算法的最后幾個數據和實際的數據擬合程度較高，對后續的預測具有較高的指導意義，因為對于預測來說，最有價值的信息就是新數據.改進算法（Ⅰ）的預測效果見圖1.

3.3 機械設備壽命預測

數據來自某工廠磨床設備軸承座1995－01－05至1995－07－05連續7個月的振動加速度測試，儀器選用大連理工大學振動工程研究所PDM2000數據采集儀，采樣頻率為1280 Hz，采樣時間為4 s，1～6月份的測量結果見圖2.

提取加速度的均方根值作為特征參數，原序列X（0）＝ ｛10.02，10.76，10.87，13.28，14.89，17.55，19.80｝.根據文獻[5]，均方根值符合灰色預測數據內涵特點，可以將其作為灰色預測序列.將前6個月數據建模，7月份數據作為對比.基于最小二乘法的二次、三次函數擬合的平均相對誤差分別為1.944%和2.009%，改進算法（Ⅰ）（2月份數據除以權重系數C＝1.06，m＝3.391）的相對平均誤差為1.717%，顯然改進算法的預測效果是較理想的.7月份的預測值為20.23 mm/s2，預測相對誤差為2.184%，經灰色檢驗，關聯度符合要求，預測精度級別為很好.預測效果見圖3.若設備的報警值為19 mm/s2，則根據預測規律計算該設備報警的時間為6月21日.

圖1 1972～1982年全國電視機產量改進算法（Ⅰ）預測Fig.1 Prediction of improved algorithm （Ⅰ）for nationwide TV quantity in 1972－1982

圖2 1～6月份加速度幅值Fig.2 Amplitude of acceleration from January to June

圖3 機械設備壽命預測Fig.3 Mechanical equipment life prediction

4 結 語

通過分析傳統GM（1，1）模型推導過程，指出原始序列規律、1－AGO序列光滑度及其初始值是影響傳統GM（1，1）模型預測精度的主要因素.本文在已有改善序列光滑度方法的基礎上，指出了對原始數據做加權預處理的必要性；在確定最佳初始值時，綜合考慮初值對預測參數C、a、u的影響，給出了一種基于加權和最小平均相對誤差的改進算法.該改進算法不但可以較大幅度地提高擬合及預測精度，而且擴展了傳統GM（1，1）模型的適用范圍.為驗證改進算法的有效性，將改進算法用于機械設備的預知維修中，取得了不錯的效果，促進了設備故障預知維修的發展.新信息對于預測是最有價值的，當獲得新的測量數據時，利用GM（1，1）新陳代謝模型可以進一步提高預測精度.改進算法對于指數規律的序列很有效，對于不滿足要求的原始序列數據需嘗試不同權重，如何給不滿足要求的原始序列數據分配最佳權重有待進一步研究.

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