Lévy過程驅動金融市場中最優資產組合復制策略

王 巖， 馮 敬 海， 馮 恩 民

（大連理工大學 數學科學學院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

計算歐式期權的對沖策略，即找到一個資產組合，使資產組合復制的財富過程能夠模擬期權的價值.因此找到滿足一定條件的最優資產組合是金融研究中的一類重要問題.文獻[1]論述了最優資產組合可以通過期權價格的鞅表示定理——Clark－Haussmann－Ocone（CHO）定理得到.

近年來，隨著白噪聲分析理論的發展，它在金融中的應用也受到了廣泛的關注.白噪聲分析是由Hida[2]首創的無窮維隨機分析，是一種無窮維的Schwartz型分布理論.Aase等[3]將CHO定理分別推廣到Gauss白噪聲分析和Poisson白噪聲分析框架下，用于研究布朗運動和Poisson過程驅動的金融市場，用Malliavin導數表示歐式期權的最優復制策略.布朗運動驅動的金融市場和Poisson過程驅動的金融市場是兩個經典的分別存在著連續型和跳躍型隨機因素的市場.

文獻[3]的思想和結果隨后被推廣到更一般的隨機過程驅動的金融市場，如文獻[4、5].隨著在理論和應用方面的蓬勃發展，Lévy過程已經成為概率論的最熱門分支之一.用Lévy過程建立金融市場模型，尤其在描述股票的價格方面，更為貼切[6～9].Lévy過程可以分解為時間變量、布朗運動和純跳Lévy過程的線性組合[10]，因此布朗運動和Poisson過程都是Lévy過程的特例.L kka等[11]首次構建純跳 Lévy白噪聲分析框架，并應用于隨機微分方程的求解.文獻[12]在文獻[11]的框架下，求解純跳Lévy白噪聲驅動的隨機薛定諤方程.L kka[13]利用白噪聲分析理論推導了純跳Lévy過程的CHO定理，用于研究Lévy過程驅動的金融市場的對沖問題.隨后，Di Nunno等[14]進一步構建了純跳Lévy過程的白噪聲分析框架，引入Malliavin導數，將CHO定理推廣到純跳Lévy過程的白噪聲分析框架下，用于求解純跳Lévy過程驅動的金融市場中歐式期權的最優復制策略.

本文研究由布朗運動和純跳Lévy過程復合的Lévy過程驅動的金融市場.此市場既有連續波動的性質，又復合了如金融危機等重大金融事件所造成的不規則跳躍式波動，更切近現實中一般的市場，是文獻[3、14]中模型的一般化和復雜化.Lévy白噪聲可視為Lévy過程的廣義時間導數，因此本文研究的Lévy白噪聲是Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲的復合.文獻[15]構建了相應的Lévy白噪聲分析框架，本文將CHO定理推廣到Lévy白噪聲分析框架下，用Malliavin導數表示市場中的方差最小資產組合，并研究Lévy過程驅動的金融市場的固有風險.

1 Lévy白噪聲分析框架下的Clark－Haussmann－Ocone定理

令（Ω，F，P）為完備的概率空間，｛Ft｝t≥0為其上的濾子.Lévy過程η（t）＝η（t，ω）：[0，∞）×Ω→R為一個平穩獨立增量過程，η（0）＝0，且滿足E[η2（t）]＜∞，對t≥0都成立.令Δη（t）表示η在t時刻的跳躍，令假 設則變換后的也為一個 Lévy過程[16].

可選取一列實數ai，j，使得為強正交鞅[16].根據Lévy－It分解定理[10]，Lévy過程η（t）可以分解為

其中a∈R，σ∈R，B（t）為布朗運動，（dt，dz）＝N（dt，dz）－ν（dz）dt為補償 Poisson隨機測度，N（dt，dz）為η（t）的Poisson隨機測度，ν（dz）為η（t）的Lévy測度，B（t）與dt，dz）獨立.

此市場既有連續型的隨機因素，又復合了如金融危機等重大金融事件所造成的不規則跳躍式波動.

Lévy白噪聲可視為Lévy過程的廣義時間導數，本文研究的Lévy白噪聲是Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲的復合.文獻[15]構建了Lévy白噪聲分析框架.

令S（Rd）為Rd上的C∞全體速降函數所組成的Schwartz空間，S′（Rd）為S（Rd）的對偶空間，μG是定義在S′（Rd）空間上的Gauss白噪聲測度.令（X）為S（Rd＋1）的商空間，X＝Rd×R0，（X）為（X）的對偶空間，μp是定義在（X）上的純跳Lévy白噪聲測度.因為本文研究的Lévy白噪聲的噪聲源是二維的——Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲，故令空間Ω＝S′（Rd）×S′（X），θ＝μG×μp.

定義2 令B（Ω）為Borelσ代數，定義（Ω，B（Ω），θ）為Lévy白噪聲空間，θ＝μG×μp為Lévy白噪聲測度.

引理1[15]令α＝ （α1，α2，…）為多維數組，有限個αi非0，且表 示 多 維 數 組α＝ （α1，α2，…） 的 集 合. 令｛Hα（ω）｝α∈J和｛Kβ（ω）｝β∈J分別為平方可積的白噪聲泛函空間L2（μG）和L2（μp）中的混沌分解基.則對平方可積的Lévy白噪聲泛函f∈L2（θ），存在著空間L2（θ）中的一組混沌分解基｛Mγ｝γ∈T，使 得 其 中Mγ（ω1，ω2）＝Hα（ω1）Kβ（ω2），T＝J×J，α，β∈J，γ＝ （αβ）∈T，ω1∈S′（Rd），ω2∈（X），Cγ＝（aα，bβ），且有

為了定義f∈L2（θ）在t點對于Gauss型隨機元素ω1∈S′（Rd）和純跳 Lévy型隨機元素ω2∈（X）的Malliavin導數，首先給出分布空間的定義，Malliavin導數定義在此隨機分布空間上.

定義3 令q∈Z，對平方可積的Gauss白噪聲泛函定義范數，定義隨機分布空間為并在上配備歸納極限拓撲.另一方面，令q∈Z，對平方可積的純跳Lévy白噪聲泛函， 定 義 范 數令

定義4 對Lévy白噪聲泛函f（ω）＝f（ω1，

根據定義3，存在著包含關系L2（θ）

定義在t點關于ω2的Malliavin導數為

這里ξi（t）為 Hermite函數0 … 0），l（i，m）＝m＋ （i＋m－2）（i＋m－1）/2.

下面給出L2（θ）上的CHO定理，此定理的證明是文獻[3]中定理3.11和文獻[14]中定理4.12的平行推廣，在此不再重復.

定理1 （L2（θ）上的CHO定理）令λ表示R上的Lebesgue測度，f∈L2（θ）為FT可測的，則有L2（λθ），并且

這里E為廣義期望表示F在t點關于ω1的Malliavin導數表示F在t點關于ω2的Malliavin導數，是Lévy過程η（t）的正交冪跳過程，Y（1）（t）＝η（t），且當m≠n時，Y（m）（t）和Y（n）（t）是正交的.

2 Lévy過程驅動的金融市場模型

本文研究由一種無風險資產S0（t）和K（K＜ ∞）種風險資產S1（t），…，SK（t）組成的金融市場，交割日期為T.市場是由Lévy過程驅動的，即風險資產由Lévy過程來刻畫.為了簡化計算，可以將標的資產的價值表示為

本文討論如何選擇資產組合復制歐式期權F∈L2（θ）的價值，θ為Lévy白噪聲測度.在金融模型中有一個信息濾子流｛Ft｝，刻畫在每個時間點投資者所能獲取的信息總量.通常假設這個信息濾子流與風險資產價格過程生成的信息相一致，即假設資產組合過程是信息濾子流｛Ft｝適應的，稱｛Ft｝t∈[0，T]所承載的信息為完全信息.對于投資者來說，通常在決策時所獲取的信息是不完全的，即存在著一族子σ－代數｛Ht｝t∈[0，T]表示在t時刻可以獲取的信息集，對于t∈[0，T]，有HtFt.稱｛Ht｝t∈[0，T]所承載的信息為部分信息.

例1φ（t）∈Ht＝F（t－δ）＋，δ＞0為常數，表示信息流存在著δ時間的延遲，即投資者要在tδ這一時刻，參照F（t－δ）＋所包含的信息，決定t時刻的隨機過程φ（t）的取值.

定義5 令φ（t） ＝ （φ0（t），φ1（t），…，φK（t）），0≤t≤T，表示投資在Sj（t），j＝0，1，…，K上的資產份數.如果φ（t）是Ft適應的（或Ht適應的），并且則稱φ（t）是Ft可行策略（或Ht可行策略），Ft可行策略（或Ht可行策略）的集合記為AF（或AH）；如果存在著Ft可行策略φ（t）∈AF（或Ht可行策略φ（t）∈AH），使得

稱歐式期權F為F可復制的（或H可復制的）；如果市場中的每個歐式期權F∈L2（θ）都是F可復制的（或H可復制的），則稱此市場為F完全市場（或H完全市場）.

Lévy過程驅動的市場一般來說不是F完全市場（或H完全市場）.一方面，Lévy過程跳躍的高度是難以獲知的；另一方面，資產組合的選擇限制在S1（t），…，Sk（t）上，k≤K.當歐式期權不能用資產組合F完全復制（或H完全復制）時，投資者希望找到“最保險”的復制策略，即文獻[14]提出的方差最小復制策略.

定義6 對于平方可積的歐式期權F∈L2（θ），若存在著φ（t）∈AH（或φ（t）∈AF）使

則稱φ（t）為F的H（或F）方差最小復制策略.

3 方差最小復制策略及市場固有風險

本章用Malliavin導數表示歐式期權F的方差最小復制策略，主要理論依據是L2（θ）上的CHO定理.

定理2 在Lévy過程所驅動的市場式（5）、（6）中，歐式期權F∈L2（θ）的F方差最小復制策略ψ（t）＝ （ψ0（t），ψ1（t），…，ψk（t））表示為

證明 給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（θ），根據L2（θ）上的CHO定理，F具有如下分解：

其中Bj（t）為布朗運動是Lévy過程ηj（t）的正交冪跳過程.

令ψ（t）為F的F方差最小復制策略.因為所以由ψ（t）復制的價值為

由于L2（FT，π）是 Hilbert空間，根據方差最小復制策略的定義6，即找到φ＊（t），使得

對于任意的具有下列形式的Ξ∈L2（FT，θ）都成立，這里

其中εj∈AF.將式（9）、（10）和（12）代入式（11），可得

根據Y（m）（t）的正交性[16]，上式寫為

由εj∈AF的任意性，根據式（14），可得式（8），定理得證.

由定理2和條件數學期望的性質，可直接得到部分信息的H方差最小復制策略.

推論1 在Lévy過程所驅動的市場式（5）、（6）中，歐式期權F∈L2（θ）的H方差最小復制策略為

在Lévy過程驅動的金融市場中，當投資者對F∈L2（θ）選擇復制策略時，由于跳躍過程和資產選擇的限制不能實現對歐式期權F完全復制.這是市場本身所存在的不可規避的風險，稱之為市場固有風險.市場固有風險不包括信息缺失所帶來的風險.

定理3 在Lévy過程驅動的金融市場式（5）、（6）中，系統的固有風險為

證明 給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（θ），根據L2（θ）上的CHO定理，F具有分解

令表示F方差最小復制策略φ（t）＝ （φ0（t），φ1（t），…，φk（t）），0≤t≤T，k≤K所復制的價值，則

將F和代入固有風險Λ＝F－的定義，可得到式（15），證畢.

推論2 如果金融市場由補償Poisson過程（t）驅動，即（t）＝（t），且k＝K，則有Λ＝0.

證明 當（t）＝（t）時，對給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（μp），根據L2（μp）上的CHO 定 理，F具 有 分 解F（ω） ＝E[F]＋令 表示F方差最小復制 策 略φ（t）＝ （φ0（t），φ1（t），…，φk（t）），0 ≤t≤T，k≤K所復制的價值，則

將F和代入固有風險Λ＝F－的定義，可得Λ＝0，那么Lévy過程驅動的金融市場是完全市場.

由此，當所有的K個風險資產都用來組成復制策略時，Lévy過程的特例（t）＝（t）所驅動的市場是完全的.□

4 結 語

本文研究由布朗運動和純跳Lévy過程復合的Lévy過程驅動的金融市場.此市場既有連續波動的性質，又復合了如金融危機等重大金融事件所造成的不規則跳躍式波動.白噪聲分析的方法應用于金融市場在文獻[3]和[14]中都有所研究，文獻[3]用Gauss白噪聲分析研究布朗運動驅動的金融市場，而文獻[14]用純跳Lévy白噪聲分析研究純跳Lévy過程驅動的金融市場.本文的模型是文獻[3]和[14]中模型的復合.在Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲復合的Lévy白噪聲框架下，應用CHO定理，用Malliavin導數具體表示了歐式期權的方差最小復制策略和市場固有風險.因此，本文的結果包含了文獻[3]和[14]的結果，而且更貼近現實中一般的金融市場.

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